Topologia métrica

A topologia métrica em um espaço \( X \) é gerada por uma base formada pelas bolas abertas definidas a partir de uma distância \( d \) em \( X \). Também é conhecida como topologia induzida pela métrica \( d \).

Em um espaço métrico \( (X, d) \), a função \( d \) mede a distância entre os pontos. A partir dela, construímos os conjuntos abertos da topologia, que são formados usando as chamadas bolas abertas.

Uma bola aberta, centrada em um ponto \( x \in X \) e com raio \( \varepsilon > 0 \), é o conjunto de todos os pontos \( y \in X \) cuja distância até \( x \) é menor que \( \varepsilon \):

$$ B_d(x, \varepsilon) = \{y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon\}. $$

Com base nisso, dizemos que um conjunto é aberto quando pode ser escrito como união, possivelmente infinita, de bolas abertas.

De forma equivalente, um conjunto \( U \subset X \) é aberto se, para todo ponto \( y \in U \), existe um raio \( \delta > 0 \) tal que a bola \( B_d(y, \delta) \) está inteiramente contida em \( U \).

Um exemplo concreto

Considere a reta real \(\mathbb{R}\), equipada com a métrica euclidiana usual.

Nesse caso, a distância entre dois pontos \( x \) e \( y \) é dada por:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

ou seja, o valor absoluto da diferença entre eles.

Com essa métrica, conseguimos descrever facilmente as bolas abertas em \(\mathbb{R}\).

Por exemplo, tomando \( x = 3 \) e \( \varepsilon = 1 \), temos:

$$ B_d(3, 1) = \{y \in \mathbb{R} \mid |3 - y| < 1\}. $$

Resolvendo a desigualdade \( |3 - y| < 1 \), obtemos:

$$ 2 < y < 4 $$

Logo:

$$ B_d(3, 1) = (2, 4). $$

Ou seja, nessa métrica, as bolas abertas são simplesmente intervalos abertos da reta real.

Mais geralmente, qualquer intervalo aberto \((a, b)\) de \(\mathbb{R}\) pode ser visto como uma bola aberta ou como união de bolas abertas.

Esses intervalos formam a base da topologia métrica em \(\mathbb{R}\).

Observação. Um conjunto como \((0, 5)\) é aberto porque, ao redor de qualquer ponto do intervalo, é sempre possível encontrar um intervalo menor totalmente contido nele.

Em resumo, a métrica \( d(x, y) = |x - y| \) gera a topologia usual da reta real, baseada em intervalos abertos.

Conjuntos abertos em uma topologia métrica

Um subconjunto \( U \subset X \) é aberto se, para todo ponto \( y \in U \), existe uma bola aberta centrada em \( y \) completamente contida em \( U \).

Isso significa que cada ponto de um conjunto aberto possui uma vizinhança que permanece inteiramente dentro do conjunto, sem tocar a sua fronteira.

Abaixo está um exemplo de conjunto aberto em \( \mathbb{R}^2 \):

 

Por outro lado, um conjunto fechado contém todos os seus pontos de fronteira.

Essa distinção entre aberto e fechado está diretamente ligada à ideia de proximidade definida pela métrica.

Tipos de métricas

Diferentes definições de distância podem gerar a mesma topologia, mesmo que as formas geométricas das bolas abertas sejam distintas.

Veja alguns exemplos no plano \( \mathbb{R}^2 \):

• Métrica euclidiana
  Gera bolas abertas em forma de círculo e define a topologia usual. $$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$
  
• Métrica do táxi (Manhattan)
  As bolas abertas têm forma de losango, mas a topologia gerada continua sendo a mesma. $$ d_T(p, q) = |p_1 - q_1| + |p_2 - q_2|. $$
  
• Métrica do máximo (uniforme)
  As bolas abertas são quadrados alinhados com os eixos. $$ d_M(p, q) = \max\{|p_1 - q_1|, |p_2 - q_2|\} $$
   

Apesar das diferenças geométricas, essas métricas induzem a mesma topologia em \( \mathbb{R}^2 \).

Observações adicionais

• Teorema: comparação de topologias métricas

  Sejam \( d \) e \( d' \) duas métricas em um mesmo conjunto \( X \), que induzem as topologias \(\mathcal{T}\) e \(\mathcal{T}'\). Dizemos que \(\mathcal{T}'\) é mais fina que \(\mathcal{T}\) se, para todo \( x \in X \) e todo \( \varepsilon > 0 \), existe \( \delta > 0 \) tal que: $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$

  Em termos simples, toda abertura na topologia de \( d \) contém uma abertura da topologia de \( d' \).
• Teorema da métrica limitada
  Dada uma métrica \( d \), podemos definir \( d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) \). Essa nova métrica gera exatamente a mesma topologia que \( d \).