Métrica limitada equivalente

Em um espaço métrico \( (X, d) \), é possível construir uma nova métrica limitada definida por \( d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) \), que induz exatamente a mesma topologia que a métrica original \( d \). Em outras palavras, os conjuntos abertos definidos por \( d \) e por \( d' \) coincidem.

De forma simples, a nova métrica \( d' \) é obtida a partir de \( d \) pela regra:

$$ d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) $$

Isso significa que \( d' \) se comporta exatamente como \( d \) quando as distâncias são menores que 1. No entanto, todas as distâncias maiores ou iguais a 1 são reduzidas para esse valor. Assim, \( d' \) é uma métrica limitada por 1.

O ponto essencial é que essa modificação não altera a topologia do espaço. Ou seja, a noção de aberto e de proximidade entre pontos permanece exatamente a mesma.

Observação : De forma geral, podemos substituir o valor \(1\) por qualquer \(\varepsilon > 0\) : $$ d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) $$ Nesse caso, as distâncias ficam limitadas por \(\varepsilon\), mas a topologia permanece inalterada. Para simplificar, consideramos aqui o caso \(\varepsilon = 1\).

Um exemplo para entender melhor

Considere o conjunto dos números reais \( \mathbb{R} \) com a métrica usual:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

Definimos a métrica limitada correspondente:

$$ d'(x, y) = \min(|x - y|, 1) $$

Com essa nova métrica, nenhuma distância pode ser maior que 1.

Por exemplo, se \( x = 2 \) e \( y = 5 \), temos \( d(2, 5) = 3 \), enquanto \( d'(2, 5) = 1 \). Se \( x = 2 \) e \( y = 2{,}5 \), então \( d'(2, 2.5) = 0.5 \), exatamente como na métrica original. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & d & d' \\ \hline 2 & 5 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 2.5 & 0.5 & 0.5 \\ \hline 6 & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$

A métrica \( d' \) reduz todas as distâncias maiores que 1, mas isso não altera a forma como os pontos estão organizados no espaço do ponto de vista topológico.

Por que a topologia não muda?

Em um espaço métrico, os conjuntos abertos são construídos a partir de bolas abertas.

Mesmo que as bolas da métrica \( d' \) sejam menores, é sempre possível combinar várias delas para reconstruir qualquer aberto definido pela métrica original \( d \).

Por exemplo, considere a bola aberta \( B_d(3, 2) \):

$$ B_d(3, 2) = \{y \in \mathbb{R} \mid d(3, y) < 2\} $$

Com a métrica usual, isso corresponde ao intervalo:

$$ 1 < y < 5 $$

Ou seja:

$$ B_d(3, 2) = (1, 5) $$

Esse intervalo pode ser reconstruído usando bolas da métrica \( d' \), por exemplo:

$$ B_{d'}(2, 1) \cup B_{d'}(3, 1) $$

A primeira cobre \( (1, 3) \) e a segunda cobre \( (2, 4) \). Juntas, elas cobrem o intervalo \( (1, 5) \).

Esse tipo de construção mostra que todos os abertos de \( d \) podem ser obtidos a partir de bolas de \( d' \). Portanto, as duas métricas geram a mesma topologia.

Demonstração

Para concluir, verificamos primeiro que \( d' \) é de fato uma métrica:

• \( d'(x, y) \geq 0 \),
• \( d'(x, y) = 0 \) se, e somente se, \( x = y \),
• \( d'(x, y) = d'(y, x) \),
• \( d' \) satisfaz a desigualdade triangular.

Em seguida, mostramos que as topologias induzidas por \( d \) e \( d' \), denotadas por \( T \) e \( T' \), coincidem. Para isso, basta provar as duas inclusões:

• \( T \subseteq T' \),
• \( T' \subseteq T \).

Inclusão \( T \subseteq T' \)

• Se \( r \leq 1 \), então: $$ B_d(x, r) = B_{d'}(x, r) $$
• Se \( r > 1 \), então: $$ B_{d'}(x, r) \subseteq B_d(x, r) $$

Inclusão \( T' \subseteq T \)

• Se \( r \leq 1 \), então: $$ B_d(x, r) = B_{d'}(x, r) $$
• Se \( r > 1 \), a bola \( B_d(x, r) \) pode ser escrita como união de bolas menores de \( d' \):

$$ B_d(x, r) = \bigcup_{i} B_{d'}(x_i, \varepsilon) $$

Conclusão

Como cada topologia está contida na outra, concluímos que \( T = T' \). Portanto, \( d \) e \( d' \) definem exatamente a mesma estrutura topológica em \( X \).