Distância entre conjuntos em um espaço métrico

A distância entre dois conjuntos $A$ e $B$, em um espaço métrico $(X, d)$, é definida como a menor distância possível entre um ponto de $A$ e um ponto de $B$: $$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A \ , \ b \in B \}, $$ onde $d(a, b)$ é a distância entre os pontos $a$ e $b$, e $\inf$ indica o ínfimo, isto é, o maior dos limitantes inferiores do conjunto dessas distâncias.

Para calcular essa distância, consideram-se todos os pares possíveis formados por um elemento de $A$ e um elemento de $B$, e procura-se o menor valor entre as distâncias obtidas.

Em termos simples, a distância entre dois conjuntos é o menor valor que a distância entre os seus elementos pode atingir.

Observação: Essa noção mede o quão próximos os elementos de dois conjuntos podem estar, sem exigir que eles se toquem ou tenham pontos em comum.

Quando a distância é igual a zero?
Exemplo ilustrativo

Quando a distância é igual a zero?

Quando $d(A, B) = 0$, isso significa que existem pontos de $A$ e de $B$ que podem ficar arbitrariamente próximos.

No entanto, isso não implica que esses pontos coincidam nem que os conjuntos se intersectem.

Por esse motivo, pode acontecer que dois conjuntos tenham distância zero mesmo sendo disjuntos, isto é, quando $A \cap B = \emptyset$.

Exemplo ilustrativo

Considere dois conjuntos $A$ e $B$ na reta real, com a distância usual $d(x_1, x_2) = |x_1 - x_2|$.

Vamos analisar três situações:

A] Caso 1

Se $A = \{0\}$ e $B = [1, 2]$, a distância entre eles é igual a $1$.

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} = d(0, 1) = 1 $$

O ponto $0$, pertencente a $A$, está a uma unidade do ponto mais próximo de $B$, que é $1$.

distância entre um ponto isolado e um intervalo fechado

B] Caso 2

Se $A = [0, 1]$ e $B = [1, 2]$, a distância é igual a zero.

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} = d(1, 1) = 0 $$

Nesse caso, os conjuntos são adjacentes e compartilham o ponto $1$, o que torna a distância nula.

intervalos fechados que se intersectam em um único ponto

Logo, não são disjuntos:

$$ A \cap B = \{ 1 \} $$

C] Caso 3

Se $A = (0, 1)$ e $B = (1, 2)$, a distância também é igual a zero.

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} $$

Embora esses intervalos abertos não tenham nenhum ponto em comum, o ponto $1$ não pertence a nenhum dos dois, a distância entre eles continua sendo zero.

$$ A \cap B = \emptyset $$

Isso acontece porque é possível escolher pontos $a \in A$ e $b \in B$ cada vez mais próximos de $1$, sem nunca atingi-lo. Assim, $|a - b|$ pode ser tornado arbitrariamente pequeno.

intervalos abertos que não se tocam mas cuja distância é zero

Os pontos de $A$ aproximam-se de $1$ pela esquerda, enquanto os de $B$ aproximam-se pela direita, sem nunca incluir esse valor.

Portanto, a distância entre $A$ e $B$ é:

$$ d(A, B) = \inf \{ |a - b| \mid a \in A, b \in B \} = |1 - 1| = 0 $$

Em resumo, mesmo sem se tocarem e sem terem elementos em comum, os dois conjuntos podem aproximar-se indefinidamente.

Por isso, a distância entre eles é igual a $0$.

Observação: Ter distância zero não significa que dois conjuntos sejam iguais nem que se intersectem. Isso apenas indica que seus elementos podem ficar arbitrariamente próximos.

E assim por diante.