Teorema de comparação de topologias induzidas por métricas

Sejam $d$ e $d'$ duas métricas definidas em um conjunto $X$, e sejam $\mathcal{T}$ e $\mathcal{T}'$ as topologias por elas induzidas. Diz-se que $\mathcal{T}'$ é mais fina do que $\mathcal{T}$ se, e somente se, para todo $x \in X$ e todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que: $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$ onde $B_d(x, \varepsilon)$ e $B_{d'}(x, \delta)$ são bolas abertas de centro $x$, definidas pelas métricas $d$ e $d'$.

A ideia central é simples. Se mudamos a forma de medir distâncias em um mesmo conjunto $X$, mudamos também os conjuntos abertos, isto é, a topologia. Cada métrica gera a sua própria noção de "vizinhança".

$\mathcal{T}$ é a topologia associada à métrica $d$
$\mathcal{T}'$ é a topologia associada à métrica $d'$

O teorema afirma que $\mathcal{T}'$ é mais fina do que $\mathcal{T}$, isto é, tem "mais abertos", se e somente se todo aberto de $\mathcal{T}$ contém pelo menos um aberto de $\mathcal{T}'$.

Esse resultado fornece um critério prático para comparar topologias e entender como a escolha da métrica afeta a estrutura do espaço.

Exemplo
Demonstração

Exemplo

Considere o plano $X = \mathbb{R}^2$ com duas métricas diferentes.

Métrica euclidiana: $d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ As bolas abertas são discos: $$ B_d((x, y), \varepsilon) = \{(u, v) \in \mathbb{R}^2 : \sqrt{(u - x)^2 + (v - y)^2} < \varepsilon\} $$
Métrica discreta: $d'((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \begin{cases} 0 & \text{se } (x_1, y_1) = (x_2, y_2) \\ 1 & \text{se } (x_1, y_1) \neq (x_2, y_2) \end{cases}$ As bolas abertas são: \[ B_{d'}((x, y), \delta) = \begin{cases} \{(x, y)\} & \text{se } \delta \leq 1 \\ X & \text{se } \delta > 1 \end{cases} \]

Queremos verificar que a topologia discreta é mais fina do que a euclidiana.

Pelo teorema:

$$ \mathcal{T}' \text{ é mais fina que } \mathcal{T} \iff \forall x \in X, \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tal que } B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$

Escolha um ponto qualquer $P = (x_0, y_0)$ e um raio $\varepsilon > 0$.

Na métrica euclidiana, $B_d(P, \varepsilon)$ é um disco aberto centrado em $P$.

Na métrica discreta:

Se $\delta \leq 1$, então $B_{d'}(P, \delta) = \{P\}$
Se $\delta > 1$, então $B_{d'}(P, \delta) = X$

Ou seja, qualquer conjunto com um único ponto já é aberto.

Tomando $\delta = 1$, temos:

$$ B_{d'}(P, \delta) = \{P\} $$

Como o ponto $P$ pertence ao disco $B_d(P, \varepsilon)$, segue que:

$$ B_{d'}(P, \delta) \subseteq B_d(P, \varepsilon) $$

Considere, por exemplo, o ponto $P = (1, 2)$. Na topologia euclidiana, a bola de raio $\varepsilon = 0{,}4$ centrada em $P$ é um aberto.
exemplo
Na topologia discreta, o conjunto $\{P\}$ é aberto. Como $\{P\} \subseteq B_d(P, \varepsilon)$, a condição do teorema é satisfeita.

Esse argumento vale para qualquer ponto do plano. Portanto, todo aberto euclidiano contém pelo menos um aberto da topologia discreta.

Concluímos que a topologia discreta $\mathcal{T}'$ é mais fina do que a topologia euclidiana $\mathcal{T}$.

Demonstração

A prova baseia-se na equivalência entre duas afirmações.

Se $\mathcal{T}'$ é mais fina que $\mathcal{T}$, então a condição das bolas é satisfeita
Se a condição das bolas é satisfeita, então $\mathcal{T}'$ é mais fina que $\mathcal{T}$

A] Primeira implicação

Suponha que $\mathcal{T}'$ é mais fina que $\mathcal{T}$.

Todo aberto de $\mathcal{T}$ também é aberto em $\mathcal{T}'$
Em particular, cada bola $B_d(x, \varepsilon)$ é aberta em $\mathcal{T}'$
Logo, contém alguma bola $B_{d'}(x, \delta)$

Portanto:

$$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$

B] Segunda implicação

Agora suponha que a inclusão das bolas vale para todo $x$ e $\varepsilon$.

Seja $U$ um aberto de $\mathcal{T}$
Então $U$ é união de bolas $B_d(x, \varepsilon)$
Cada uma dessas bolas contém uma bola $B_{d'}(x, \delta)$
Logo, todo ponto de $U$ possui uma vizinhança aberta em $\mathcal{T}'$

Isso mostra que $U$ também é aberto em $\mathcal{T}'$.

A equivalência está demonstrada.