Invariância da metrizabilidade por homeomorfismos
Se um espaço topológico \( X \) é metrizável e \( Y \) é homeomorfo a \( X \), então \( Y \) também é metrizável.
A ideia central é simples: a metrizabilidade não se perde quando passamos de um espaço para outro através de um homeomorfismo. Trata-se de uma propriedade estrutural, ligada à própria natureza topológica do espaço.
Em termos práticos, isso significa que, se um espaço \( X \) é metrizável, qualquer espaço topologicamente equivalente a ele, isto é, homeomorfo, também será metrizável.
Consequentemente, quando já se sabe que um espaço \( X \) é metrizável e se encontra um espaço \( Y \) homeomorfo a \( X \), não é necessário construir explicitamente uma métrica em \( Y \). Pode-se concluir imediatamente que \( Y \) também é metrizável.
Explicação
Um espaço topológico \( X \) é dito metrizável quando existe uma métrica \( d \) que induz a sua topologia. Em outras palavras, todos os abertos de \( X \) podem ser descritos a partir de uma noção de distância.
Um homeomorfismo é uma aplicação bijetiva entre dois espaços topológicos \( X \) e \( Y \) que é contínua e cuja inversa também é contínua. Esse tipo de aplicação preserva completamente a estrutura topológica, o que implica que \( X \) e \( Y \) têm exatamente as mesmas propriedades topológicas essenciais.
Se \( X \) possui uma métrica \( d \) que gera a sua topologia, então qualquer espaço \( Y \) homeomorfo a \( X \) pode ser dotado de uma métrica compatível com a sua topologia. Essa métrica é obtida naturalmente a partir da métrica em \( X \), transportando-a através do homeomorfismo.
Em síntese, a metrizabilidade é uma propriedade invariante por homeomorfismos. Sempre que dois espaços são homeomorfos, ou ambos são metrizáveis, ou nenhum deles é.
Exemplo
Considere a reta real \( \mathbb{R} \), com a sua topologia usual induzida pela distância euclidiana, e o intervalo aberto \( (-1, 1) \).
Sabe-se que \( \mathbb{R} \) é metrizável com a métrica padrão \( d(x, y) = |x - y| \).
Defina-se a aplicação \( f : \mathbb{R} \to (-1,1) \) por \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \). Essa aplicação é um homeomorfismo: é contínua, bijetiva e a sua inversa também é contínua. Em particular, estabelece uma correspondência perfeita entre \( \mathbb{R} \) e \( (-1,1) \), sem alterar a sua estrutura topológica.
Como \( f \) preserva a topologia, segue que \( (-1,1) \) herda as propriedades topológicas de \( \mathbb{R} \). Portanto, sendo \( \mathbb{R} \) metrizável, o intervalo \( (-1,1) \) também o é. De fato, basta considerar a métrica euclidiana restrita a esse intervalo.
O mesmo raciocínio vale, em geral, para qualquer par de espaços homeomorfos.
