Teorema de caracterização da continuidade em espaços métricos

Este teorema estabelece uma ideia central da análise: a continuidade de uma função entre espaços métricos pode ser descrita de forma rigorosa por meio da definição $\varepsilon$-$\delta$.

Uma função $f$, definida entre dois espaços métricos $(X, d_X)$ e $(Y, d_Y)$, é contínua se satisfaz as seguintes condições:

Dado um ponto $x \in X$, fixa-se um número real $\varepsilon > 0$, que representa a precisão desejada para os valores de $f$.
Existe então um número real $\delta > 0$, que determina até que distância de $x$ é permitido variar em $X$.
Se um ponto $x'$ estiver suficientemente próximo de $x$, isto é, se $d_X(x, x') < \delta$: $$ d_X(x, x') < \delta $$ então as imagens $f(x)$ e $f(x')$ também permanecem próximas em $Y$, no sentido de que: $$ d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$

Em termos simples, a continuidade significa que pequenas variações na entrada produzem pequenas variações na saída. Não há saltos, rupturas ou comportamentos inesperados.

Essa formulação é conhecida como a definição $\varepsilon$-$\delta$ da continuidade e constitui a base rigorosa do conceito em análise matemática.

Na prática, trata-se de uma generalização direta da continuidade estudada em Análise I, agora aplicada a quaisquer espaços métricos, e não apenas a $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^n$.

Observação : No caso clássico das funções reais, a definição assume a forma familiar: uma função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ é contínua em $x$ se, para todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que, sempre que $|x - x'| < \delta$, então $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$. Nesse contexto, utilizam-se as métricas usuais: $$ d_X(x, x') = |x - x'| $$ $$ d_Y(f(x), f(x')) = |f(x) - f(x')| $$ A versão geral apenas substitui essas distâncias pelas métricas $d_X$ e $d_Y$, mantendo exatamente a mesma ideia.

Exemplo ilustrativo
Demonstração

Exemplo ilustrativo

Consideremos dois espaços métricos simples:

Domínio: $X = \mathbb{R}$, com a métrica usual $d_X(x, x') = |x - x'|$.
Contradomínio: $Y = \mathbb{R}$, com a métrica usual $d_Y(y, y') = |y - y'|$.

Definimos a função:

$$ f(x) = 2x $$

Vamos verificar que essa função é contínua, utilizando duas abordagens equivalentes: a definição topológica e a definição $\varepsilon$-$\delta$.

1] Continuidade via conjuntos abertos

Na topologia induzida pela métrica, um conjunto $V \subseteq Y$ é aberto se, para cada ponto $y \in V$, existe uma bola aberta $B_Y(y, \varepsilon)$ contida em $V$.

A imagem inversa de $V$ pela função $f$ é:

$$ f^{-1}(V) = \{x \in X \mid f(x) \in V\} $$

Como $f(x) = 2x$, obtemos:

$$ f^{-1}(V) = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x \in V\} $$

Se $V$ é aberto, então, para cada ponto, existe um $\varepsilon$ que define uma vizinhança contida em $V$. Isso permite escolher $\delta = \varepsilon / 2$, garantindo que a bola em $X$ esteja contida na imagem inversa.

Logo, a imagem inversa de qualquer aberto é aberta. Portanto, $f$ é contínua no sentido topológico.

2] Continuidade pela definição $\varepsilon$-$\delta$

Seja $x \in X$ e $\varepsilon > 0$. Procuramos $\delta > 0$ tal que:

$$ |x - x'| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x')| < \varepsilon $$

Como:

$$ |f(x) - f(x')| = |2x - 2x'| = 2|x - x'| $$

basta escolher:

$$ \delta = \frac{\varepsilon}{2} $$

Assim, a condição de continuidade é satisfeita, o que confirma que $f$ é contínua.

3] Conclusão

A função $f(x) = 2x$ é contínua.
As definições topológica e $\varepsilon$-$\delta$ descrevem exatamente o mesmo conceito.

Demonstração

Mostremos agora, em geral, que as duas principais definições de continuidade são equivalentes.

Definição topológica : $f$ é contínua se a imagem inversa de todo conjunto aberto de $Y$ é um conjunto aberto de $X$.
Definição por vizinhanças : para todo $x \in X$ e todo aberto $U \subseteq Y$ que contém $f(x)$, existe uma vizinhança $V$ de $x$ tal que $f(V) \subseteq U$.

1] Da definição topológica para a definição por vizinhanças

Se $f$ é contínua, então $f^{-1}(U)$ é aberto. Como contém $x$, existe uma vizinhança $V$ de $x$ contida em $f^{-1}(U)$. Logo, $f(V) \subseteq U$.

2] Da definição por vizinhanças para a definição topológica

Se para cada ponto existe uma vizinhança adequada, então qualquer ponto de $f^{-1}(W)$ possui uma vizinhança contida nesse conjunto. Portanto, $f^{-1}(W)$ é aberto.

Conclui-se que a continuidade definida por conjuntos abertos é equivalente à continuidade definida por vizinhanças.

Isso completa a demonstração.