Exemplo de topologia

Vamos determinar todas as topologias possíveis definidas sobre o conjunto \(X\).

$$ X = \{ a,b \} $$

Para isso, é preciso analisar todas as famílias de subconjuntos de \(X\) que satisfazem a definição formal de uma topologia.

Definição de topologia. Uma topologia em um conjunto \(X\) é uma família \(T\) de subconjuntos de \(X\) que atende às três condições a seguir:

• Contém o conjunto vazio \(∅\) e o conjunto total \(X\).
• É fechada sob uniões arbitrárias (de qualquer número, finito ou infinito) de elementos de \(T\).
• É fechada sob interseções finitas de elementos de \(T\).

No caso do conjunto \( X = \{a,b\} \), o seu conjunto das partes (ou conjunto potência) é:

$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$

Como toda topologia sobre \(X\) deve obrigatoriamente conter \(∅\) e \(X\), esses dois conjuntos aparecerão em todas as topologias admissíveis.

A seguir, apresentamos a lista completa das famílias de subconjuntos que satisfazem as condições necessárias para constituir uma topologia:

1. A topologia trivial (ou mínima), que contém apenas os conjuntos indispensáveis: $$ T_1 = \{ ∅, \{a,b\} \} $$
2. A topologia que inclui também o conjunto unitário \(\{a\}\): $$ T_2 = \{ ∅, \{a\}, \{a,b\} \} $$
3. A topologia que inclui, em vez disso, o conjunto unitário \(\{b\}\): $$ T_3 = \{ ∅, \{b\}, \{a,b\} \} $$
4. A topologia discreta (ou máxima), que contém todos os subconjuntos de \(X\): $$ T_4 = \{ ∅, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \} $$

Essas são, portanto, todas as topologias possíveis sobre o conjunto \(X\).

A topologia trivial é a mais simples, pois distingue apenas o conjunto vazio e o conjunto total. Em contrapartida, a topologia discreta é a mais rica, já que considera todos os subconjuntos como abertos.

Concluímos, assim, que o conjunto \( X = \{a,b\} \) admite exatamente quatro topologias distintas.

Exemplo 2

Vamos analisar agora um caso um pouco mais complexo: um conjunto com três elementos.

$$ X = \{ a,b,c \} $$

Queremos verificar se a seguinte família define uma topologia sobre \(X\):

$$ T_3 = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, \{b,c\}, \{a,b,c\} \} $$

Comecemos verificando se \( T_3 \) contém tanto o conjunto vazio quanto o conjunto total \(X = \{a,b,c\}\).

Como esses dois conjuntos estão incluídos, a primeira condição está satisfeita.

Vamos agora verificar se há estabilidade por uniões arbitrárias.

Observa-se que a união \( \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} \) não pertence a \(T_3\), o que viola uma das condições da definição de topologia.

$$ \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} \notin T $$

Esse contraexemplo é suficiente para concluir que \(T_3\) não define uma topologia sobre \(X\).

Como uma das condições fundamentais não é satisfeita, não há necessidade de verificar a estabilidade por interseções.

O mesmo raciocínio pode ser aplicado a outros exemplos semelhantes.