Topologia do Retângulo Aberto

A topologia do retângulo aberto é uma das formas mais intuitivas de compreender conjuntos abertos no plano $ \mathbb{R}^2 $. Nesse contexto, qualquer conjunto aberto pode ser visto como união de retângulos abertos, cada um deles formado pelo produto cartesiano de dois intervalos abertos, um em cada eixo. Essa ideia fornece uma base simples e eficaz para descrever relações espaciais bidimensionais.

O ponto essencial é que trabalhamos com uma coleção de vizinhanças retangulares abertas, que servem como peças fundamentais. A partir delas, construímos qualquer conjunto aberto mais complexo no plano.

Em termos formais, dizemos que um subconjunto $ U \subseteq \mathbb{R}^2 $ é aberto quando, para cada ponto $ (x, y) $ em $ U $, existe um retângulo aberto que contenha esse ponto e esteja totalmente contido em $ U $. Essa característica garante que sempre podemos “ampliar” um ponto interior sem tocar a fronteira do conjunto.

Assim, os retângulos abertos assumem um papel central na descrição topológica do plano euclidiano.

$$ B= \{ (a, b) \times (c, d) | a< b, c<d \} $$

Aqui, $ a, b, c, d $ são números reais com $ a < b $ e $ c < d $, o que define precisamente os limites de cada retângulo.

Essa abordagem oferece uma alternativa às bases formadas por discos abertos, usadas com frequência na topologia do plano. Mesmo com formas diferentes, o conceito de conjunto aberto permanece o mesmo.

Nota: Essa flexibilidade mostra que a topologia não depende de uma única forma geométrica. Tanto retângulos quanto discos podem servir de base, desde que satisfaçam as propriedades necessárias. Em ambos os casos, a coleção resultante descreve a mesma topologia de $ \mathbb{R}^2 $.

Exemplo de um Retângulo Aberto

Para visualizar a ideia, considere dois intervalos abertos: $ (1, 3) $ no eixo $ x $ e $ (2, 4) $ no eixo $ y $. O produto cartesiano desses intervalos define um retângulo aberto no plano.

um exemplo de retângulo aberto

Esse conjunto inclui todos os pontos $ (x, y) $ tais que $ x $ está entre 1 e 3 e $ y $ está entre 2 e 4. Em linguagem matemática, escrevemos:

$$ (1, 3) \times (2, 4) $$

o ponto (2,3)

Se escolhermos, por exemplo, o ponto $ (2, 3) $, percebemos que suas coordenadas estão estritamente dentro dos intervalos indicados. Por isso, ele pertence ao retângulo aberto.

Nota: A fronteira não faz parte do conjunto. Os pontos localizados exatamente nas linhas $ x = 1 $, $ x = 3 $, $ y = 2 $ ou $ y = 4 $ ficam fora do retângulo aberto. É essa exclusão que garante a natureza aberta do conjunto.