Topologia Trivial

A topologia trivial (ou mínima) em um conjunto $ X $ é definida apenas por dois conjuntos: o vazio e o próprio conjunto $ X $. $$ T = \{ \emptyset , X \} $$

Ela recebe esse nome porque é a forma mais simples possível de dar a um conjunto uma estrutura topológica. Nada além do essencial.

Em outras palavras: a topologia trivial contém só dois elementos - o conjunto vazio Ø e o conjunto $ X $. Esses são os subconjuntos impróprios de $ X $.

Conceitos Fundamentais

Quando atribuímos a topologia trivial $ T $ a um conjunto não vazio $ X $, estamos lidando com a versão mais básica de uma estrutura topológica.

$$ (X, T) $$

Nesse caso, a topologia $ T $ se resume a dois elementos: o conjunto vazio e $ X $.

$$ T = \{ \emptyset , X \} $$

Por que isso importa? Porque mesmo tão simples, essa escolha já garante todas as propriedades fundamentais de uma topologia.

Para que $ T $ seja considerada uma topologia sobre $ X $, três condições precisam ser respeitadas:

O conjunto vazio Ø e o conjunto total $ X $ devem pertencer a $ T $.
A união de quaisquer conjuntos abertos de $ T $ deve continuar em $ T $.
A interseção de quaisquer dois conjuntos abertos de $ T $ também deve estar em $ T $.

No caso da topologia trivial, essas condições são satisfeitas imediatamente.

Demonstração. Por definição, $ \emptyset $ e $ X $ já estão em $ T $.

Além disso, o conjunto vazio é sempre aberto em qualquer topologia. E $ X $ foi incluído desde o início como aberto.

Como não existem outros conjuntos em $ T $, qualquer união ou interseção só pode resultar em $ \emptyset $ ou em $ X $. Logo, não há como quebrar as regras topológicas.

Assim, todas as condições são plenamente atendidas.

Por que o nome “Topologia Mínima”?

A topologia trivial também é chamada de topologia mínima porque não dá para ser mais simples do que isso.

Uma topologia é mínima quando a retirada de qualquer um de seus elementos faz com que ela deixe de ser uma topologia.

Esse critério vem de um princípio básico: toda topologia sobre $ X $ deve incluir, no mínimo, o conjunto vazio Ø e o próprio conjunto $ X $.

No caso da trivial, $ T = \{ \emptyset, X \} $, não há nada além desses dois conjuntos. Se você remover um deles, a estrutura simplesmente deixa de ser uma topologia.

Portanto, a topologia trivial é a forma mais enxuta e reduzida possível de uma estrutura topológica sobre $ X $.

Observação. Apesar de elegante na sua simplicidade, a topologia trivial quase não é usada na prática: ela é pobre em estrutura e não nos diz muito sobre o conjunto $ X $. Mas, do ponto de vista teórico, é fundamental, porque representa o caso de menor complexidade dentro do “universo” das topologias. No extremo oposto temos a topologia discreta, em que todos os subconjuntos de $ X $ são abertos.

E assim por diante...