Conjuntos densos em topologia

Em um espaço topológico $ X $, um subconjunto $ A $ é chamado de denso quando o seu fecho coincide com todo o espaço, isto é: $$ \text{Cl}(A) = X $$

De forma intuitiva, um conjunto denso está presente em todo o espaço do ponto de vista topológico. Isso significa que qualquer ponto de $ X $ pertence a $ A $ ou pode ser arbitrariamente bem aproximado por pontos de $ A $.

O fecho de um conjunto reúne tanto os seus próprios elementos quanto todos os seus pontos de acumulação.

Exemplos concretos

Exemplo 1

Na topologia usual sobre $ \mathbb{R} $, o conjunto dos números racionais $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $ é um exemplo clássico de conjunto denso.

De fato, entre quaisquer dois números reais sempre existe um número racional. Por essa razão, todo número real pode ser aproximado com precisão arbitrária por elementos de $ \mathbb{Q} $.

Consequentemente, o fecho de $ \mathbb{Q} $ coincide com toda a reta real:

$$ \text{Cl}(\mathbb{Q}) = \mathbb{R} $$

Isso mostra que $ \mathbb{Q} $ é denso em $ \mathbb{R} $.

Observação. De modo semelhante, na topologia usual sobre $ \mathbb{R} $, o conjunto dos números irracionais $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $ também é denso. Como qualquer número real pode ser aproximado por irracionais, vale igualmente: $$ \text{Cl}(\mathbb{I}) = \mathbb{R} $$

Exemplo 2

Considere agora a topologia do complementar finito sobre $ \mathbb{R} $. Nesse contexto, o conjunto $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ também é denso.

Nessa topologia, um conjunto é aberto quando o seu complementar é finito.

Como o complementar de $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ é o conjunto finito $ \{0\} $, o conjunto $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ é aberto.

Para determinar o seu fecho, analisam-se os seus pontos de acumulação.

Ao acrescentar o ponto 0, recupera-se todo o espaço. Além disso, não existe nenhum conjunto fechado estritamente contido em $ \mathbb{R} $ que contenha $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $. Portanto, conclui-se que:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus \{0\}) = \mathbb{R} $$

Esse conjunto é, assim, denso em $ \mathbb{R} $.

Observação. Este exemplo evidencia uma característica fundamental da topologia do complementar finito: todo subconjunto infinito é necessariamente denso. De fato, os únicos conjuntos fechados não triviais são os conjuntos finitos e o próprio $ \mathbb{R} $. Assim, o fecho de qualquer conjunto infinito coincide com o espaço inteiro.

Exemplo 3

Na topologia usual sobre $ \mathbb{R} $, o intervalo aberto $ (0,1) $ não é denso.

O seu fecho é o intervalo fechado $ [0,1] $, pois as extremidades 0 e 1 são pontos de aderência:

$$ \text{Cl}((0,1)) = [0,1] $$

Como esse fecho não coincide com $ \mathbb{R} $, o conjunto $ (0,1) $ não é denso em $ \mathbb{R} $.

Observação. Em contraste, se considerarmos $ (0,1) $ como subconjunto de $ [0,1] $, equipado com a topologia induzida, ele passa a ser denso nesse subespaço, pois o seu fecho é $ [0,1] $. Este exemplo deixa claro que a noção de densidade depende do espaço ambiente: $ (0,1) $ não é denso em $ \mathbb{R} $, mas é denso em $ [0,1] $.

E assim por diante.