Topologia do ponto particular
A topologia do ponto particular é uma das construções mais simples e, ao mesmo tempo, mais interessantes da topologia. Ela é definida em um conjunto \( X \) que possui um ponto especial \( p \), chamado de ponto designado. Nessa topologia, consideramos abertos todos os subconjuntos de \( X \) que sejam vazios ou que contenham o ponto \( p \).
Em outras palavras: tudo o que inclui o ponto \( p \) é considerado um conjunto aberto, junto com o conjunto vazio e o conjunto total \( X \).
Por isso, essa estrutura também é conhecida como topologia do ponto fixo.
Observação. Para que uma coleção de conjuntos seja realmente uma topologia, ela precisa seguir algumas regras básicas: conter o conjunto vazio e o conjunto total, e ser fechada sob uniões arbitrárias e interseções finitas. A topologia do ponto particular cumpre exatamente essas condições.
Exemplo prático
Vamos ver como isso funciona na prática. Considere o conjunto \( X = \{a, b, c\} \) e escolha \( a \) como o ponto especial. Nesse caso, todos os subconjuntos que contêm \( a \) serão abertos, além do conjunto vazio e do conjunto total.
- O conjunto vazio: \( \emptyset \)
- O conjunto total: \( X = \{a, b, c\} \)
- Os conjuntos que contêm \( a \): \( \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\} \)
Portanto, a topologia do ponto particular associada a \( a \) é:
$$ T = \{ \emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\} \} $$
Por que essa família é uma topologia?
Vale a pena verificar que essa coleção cumpre todas as propriedades necessárias:
- Ela contém o conjunto vazio e o conjunto total.
- Se unirmos conjuntos que contêm \( a \), o resultado ainda conterá \( a \) - logo, permanece na topologia.
- A interseção de um número finito de conjuntos que contêm \( a \) também conterá \( a \) (a menos que seja vazia).
Essas três condições garantem que estamos diante de uma topologia perfeitamente válida.
Essa construção é um ótimo ponto de partida para entender como diferentes escolhas de conjuntos abertos podem dar origem a topologias com comportamentos bem distintos. Mesmo sendo uma das formas mais simples de topologia, ela mostra claramente a lógica que sustenta toda a teoria topológica.
