Topologia do Ponto Excluído

A topologia do ponto excluído é uma construção curiosa da matemática: dada um conjunto $X$, escolhe-se um ponto específico $p$ e define-se uma topologia $T$ a partir da exclusão desse ponto.

Os conjuntos abertos dessa topologia são:

O conjunto vazio ($Ø$)
O conjunto total $X$
Todos os subconjuntos de $X$ que não contêm o ponto $p$

Em resumo: um conjunto é aberto na topologia do ponto excluído se, e somente se, for o conjunto total $X$, o conjunto vazio, ou qualquer subconjunto que não inclua o ponto $p$.

Essa construção realmente define uma topologia, pois cumpre os três axiomas fundamentais exigidos para isso. Se quiser relembrar o conceito geral, veja a definição de topologia em um espaço.

Nota. Essa topologia é interessante justamente por girar em torno da exclusão de um ponto específico. Essa escolha simples leva a resultados surpreendentes - e às vezes até contraintuitivos.

Exemplo prático

Vamos ver como isso funciona na prática. Considere o conjunto:

$$ X = \{a, b, c\} $$

Escolhemos o ponto $p = a$ para ser excluído.

Os conjuntos abertos dessa topologia serão:

O conjunto vazio ($Ø$)
O conjunto total $X = \{a, b, c\}$
Todos os subconjuntos de $X$ que não contêm o ponto $a$: $ \{b\}, \{c\} $ e $ \{b, c\} $.

Logo, a topologia do ponto excluído em $X$ é:

$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$

Por que isso é uma topologia?

Porque $T$ satisfaz todas as propriedades necessárias:

Fechamento sob uniões arbitrárias:
$\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}$ e $\{b\} \cup \emptyset = \{b\}$, ambos pertencem a $T$.
Fechamento sob interseções finitas:
$\{b\} \cap \{c\} = \emptyset$ e $\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}$, ambos pertencem a $T$.
Contém o conjunto vazio $\emptyset$ e o conjunto total $X$.

Esse exemplo simples mostra como a exclusão de um único ponto pode gerar uma estrutura topológica completa, com propriedades próprias e até surpreendentes. É um ótimo ponto de partida para explorar o papel dos abertos na teoria dos espaços topológicos.