Topologia do Supremo

A topologia do supremo é um tipo especial de estrutura em que os conjuntos abertos são formados por uniões arbitrárias de intervalos semiabertos à direita, do tipo \( (a, b] \), com \( a < b \).

Isso significa que, aqui, um intervalo é considerado "aberto" quando inclui o seu extremo superior, mas deixa de fora o inferior. É o oposto do que fazemos na topologia mais comum, onde o intervalo aberto é \( (a, b) \).

De forma mais técnica, a base dessa topologia é:

$$ B = \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \ | \ a<b \} $$

Ou seja, qualquer conjunto aberto pode ser construído a partir de intervalos desse tipo, que sempre incluem a sua extremidade superior.

Observação: existe uma topologia "espelhada" chamada topologia do ínfimo, em que os abertos são da forma \([a, b)\) - isto é, incluem o extremo inferior, mas não o superior. Essa comparação ajuda a perceber como uma simples troca no modo de definir os intervalos muda completamente o que entendemos por conjunto aberto.

A topologia do supremo é um exemplo clássico em topologia geral, muito usado para mostrar que pequenas alterações na definição dos abertos podem gerar propriedades e resultados totalmente diferentes. É uma ótima forma de enxergar como a escolha da estrutura topológica muda o comportamento de conceitos como continuidade e convergência.

Um exemplo para visualizar melhor

Vamos olhar para os números reais \(\mathbb{R}\) com essa topologia. Aqui, conjuntos como \( (1,3] \), \( (2,6] \) ou \( (-3,5] \) são considerados abertos.

Esses intervalos formam a base da topologia do supremo. Em todos eles, o extremo superior pertence ao conjunto, enquanto o inferior não está incluído.

Esse tipo de topologia aparece em contextos teóricos interessantes - por exemplo, quando queremos estudar formas alternativas de continuidade e convergência que não seguem exatamente as regras da topologia habitual dos números reais.