Topologias mais finas e mais grosseiras: o que realmente muda
Quando estudamos topologia, é comum encontrarmos os termos “topologia mais fina” e “topologia mais grosseira”. Eles servem para comparar diferentes formas de definir conjuntos abertos sobre o mesmo conjunto \( X \).
- Topologia mais fina
Dizemos que uma topologia \( \tau \) é mais fina do que outra quando possui mais conjuntos abertos. Em outras palavras, ela descreve o espaço com maior “resolução”. - Topologia mais grosseira
Já uma topologia mais grosseira tem menos conjuntos abertos e, portanto, oferece uma descrição mais simples ou menos detalhada do mesmo conjunto. É como observar o mesmo objeto, mas com menos precisão.
Um exemplo simples
Tomemos o conjunto \( X = \{a, b\} \) e definamos duas topologias diferentes sobre ele:
- \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \): a topologia trivial, onde apenas o conjunto vazio e o conjunto total são abertos.
- \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\} \): uma topologia que acrescenta o conjunto \( \{a\} \) como aberto.
Como \( \tau_2 \) tem mais conjuntos abertos, ela é mais fina que \( \tau_1 \). De forma equivalente, \( \tau_1 \) é mais grosseira que \( \tau_2 \).
O impacto na continuidade
Se uma função é contínua em relação a uma topologia mais grosseira, ela também será contínua em qualquer topologia mais fina. O inverso, no entanto, nem sempre vale.
Para verificar se uma função é contínua, analisamos se a pré-imagem de cada conjunto aberto do contradomínio é aberta no domínio.
Quando a topologia é mais fina, há mais conjuntos abertos a verificar - logo, a condição de continuidade torna-se mais exigente. Já numa topologia mais grosseira, há menos conjuntos abertos e o teste é mais simples.
Assim, uma função contínua numa topologia mais grosseira continuará sendo contínua em qualquer refinamento, pois a verificação já foi feita para um conjunto mais restrito de abertos.
O inverso não é garantido. Uma função pode ser contínua numa topologia mais fina e deixar de ser numa mais grosseira, justamente porque nesta há menos abertos para sustentar a continuidade.
Exemplo prático 1
Considere novamente \( X = \{a, b\} \) e duas topologias:
- Mais grosseira: \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \)
- Mais fina: \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \)
Definimos a função constante:
$$ f(a) = 1, \quad f(b) = 1 $$
Verifiquemos sua continuidade em \( \tau_2 \):
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \), aberto em \( \tau_2 \);
- \( f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \), também aberto.
Portanto, \( f \) é contínua em \( \tau_2 \).
Como \( f \) é contínua na topologia mais fina, também será contínua na mais grosseira \( \tau_1 \), pois há menos abertos a considerar:
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \), aberto em \( \tau_1 \);
- \( f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \), igualmente aberto.
Logo, \( f \) é contínua em ambas as topologias.
Exemplo prático 2
Consideremos novamente \( X = \{a, b\} \) com as mesmas topologias, mas agora definimos:
$$ g(a) = 1, \quad g(b) = 2 $$
Verifiquemos a continuidade de \( g \) em \( \tau_2 \):
- \( g^{-1}(\varnothing) = \varnothing \);
- \( g^{-1}(\{1,2\}) = \{a, b\} \);
- \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \);
- \( g^{-1}(\{2\}) = \{b\} \).
Todas essas pré-imagens são abertas em \( \tau_2 \), então \( g \) é contínua na topologia mais fina.
Agora testemos \( g \) em \( \tau_1 \):
- \( g^{-1}(\varnothing) = \varnothing \), aberto;
- \( g^{-1}(\{1,2\}) = \{a, b\} \), aberto;
- Mas \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \) não é um conjunto aberto em \( \tau_1 \).
Assim, \( g \) não é contínua na topologia mais grosseira \( \tau_1 \).
Conclusão
Uma topologia mais fina permite uma descrição mais detalhada do espaço, mas torna mais rigorosa a verificação de continuidade. Já uma topologia mais grosseira simplifica a estrutura, facilitando a continuidade de funções. Saber escolher a topologia adequada é, portanto, uma questão de equilíbrio entre precisão e simplicidade.
