Embeddings em topologia

Em topologia, um embedding é uma aplicação contínua e injetiva \( f: X \rightarrow Y \) entre espaços topológicos \( X \) e \( Y \), tal que \( f \) estabelece um homeomorfismo entre \( X \) e a sua imagem \( f(X) \), considerada com a topologia de subespaço induzida por \( Y \).

Em termos simples, isso significa que \( X \) é “inserido” em \( Y \) sem distorcer a sua estrutura topológica. A imagem \( f(X) \) comporta-se, do ponto de vista topológico, exatamente como \( X \).

Uma aplicação é um embedding quando satisfaz três propriedades fundamentais:

1. \( f \) é contínua;
2. \( f \) é injetiva, ou seja, pontos distintos de \( X \) têm imagens distintas em \( Y \);
3. a inversa \( f^{-1} \), definida em \( f(X) \), é contínua relativamente à topologia de subespaço.

Essas condições garantem que não apenas a aplicação preserva a forma “global” de \( X \), mas também a sua estrutura local.

Um exemplo concreto

Vamos analisar um exemplo simples para tornar a ideia mais clara.

Considere os seguintes espaços topológicos:

• Espaço \( X \)
  O conjunto \( X = \{a, b, c\} \), com a topologia \( \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, X\} \).
• Espaço \( Y \)
  O conjunto \( Y = \{1, 2, 3, 4\} \), com a topologia \( \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, Y\} \).

Definimos a aplicação \( f: X \rightarrow Y \) por:

$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$

Agora vamos verificar, passo a passo, se \( f \) é um embedding.

1] Continuidade de \( f \)

Uma aplicação é contínua quando a pré-imagem de qualquer aberto de \( Y \) é um aberto em \( X \).

• \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \mathcal{T}_X \);
• \( f^{-1}(\{1\}) = \{a\} \in \mathcal{T}_X \);
• \( f^{-1}(\{1, 2\}) = \{a, b\} \in \mathcal{T}_X \);
• \( f^{-1}(\{1, 2, 3\}) = X \in \mathcal{T}_X \);
• \( f^{-1}(Y) = X \in \mathcal{T}_X \).

Como todas as pré-imagens são abertas em \( X \), a aplicação é contínua.

2] Injetividade

A aplicação é injetiva porque cada elemento de \( X \) tem uma imagem diferente em \( Y \):

$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$

3] Continuidade da inversa

A imagem de \( f \) é \( f(X) = \{1, 2, 3\} \subset Y \).

A topologia de subespaço em \( f(X) \) é:

$$ \mathcal{T}_{f(X)} = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\}. $$

Para verificar a continuidade da inversa \( f^{-1}: f(X) \rightarrow X \), basta observar:

• \( \emptyset \mapsto \emptyset \);
• \( \{a\} \mapsto \{1\} \);
• \( \{a, b\} \mapsto \{1, 2\} \);
• \( X \mapsto \{1, 2, 3\} \).

Todas essas pré-imagens são abertas em \( f(X) \), logo a inversa é contínua.

Conclusão. A aplicação \( f \) é um embedding de \( X \) em \( Y \), pois satisfaz todas as condições exigidas.

Note que \( f(X) \) não coincide com todo o espaço \( Y \), mas ainda assim mantém exatamente a mesma estrutura topológica de \( X \).

Embedding vs homeomorfismo

É importante distinguir embedding de homeomorfismo.

• Homeomorfismo
  É uma bijeção contínua com inversa contínua entre dois espaços inteiros. Os espaços são topologicamente equivalentes.
• Embedding
  É uma aplicação que insere um espaço dentro de outro, preservando a sua estrutura apenas na imagem.

Em resumo, um homeomorfismo compara espaços completos, enquanto um embedding descreve como um espaço pode ser representado dentro de outro sem perder a sua estrutura topológica.

E assim por diante...