Todo espaço métrico é Hausdorff
Todo espaço métrico satisfaz a propriedade de Hausdorff. Em contrapartida, um espaço topológico que não possua essa propriedade não pode ser metrizado.
Um espaço de Hausdorff é aquele em que qualquer par de pontos distintos pode ser separado por abertos disjuntos.
Em termos simples, sempre que existe uma noção de distância entre pontos, é possível “separá-los” usando dois conjuntos abertos que não se intersectam.
Observação : A propriedade de Hausdorff deve ser verificada para todo par de pontos distintos, sem exceções.
Um exemplo concreto
Considere o plano euclidiano \(\mathbb{R}^2\), equipado com a distância euclidiana entre dois pontos \(x = (x_1, x_2)\) e \(y = (y_1, y_2)\), definida por:
$$ d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}. $$
Com essa distância, \(\mathbb{R}^2\) é um espaço métrico.
Nesse contexto, a propriedade de Hausdorff surge de forma natural: quaisquer dois pontos distintos podem sempre ser separados por abertos disjuntos.
Sejam \(A = (x_1, y_1)\) e \(B = (x_2, y_2)\) dois pontos de \(\mathbb{R}^2\), com \(A \neq B\).
Como são distintos, a distância entre eles é positiva: \(d(A, B) > 0\).
Escolhemos então um raio menor do que a metade dessa distância:
$$ r = \frac{d(A, B)}{2} $$
Agora definimos duas bolas abertas de raio \(r\), centradas em \(A\) e em \(B\):
- \(U = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, A) < r \}\),
- \(V = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, B) < r \}\).
Esses dois conjuntos são disjuntos:
$$ U \cap V = \varnothing $$
De fato, um ponto que esteja em \(U\) está mais próximo de \(A\) do que de \(B\), enquanto um ponto de \(V\) está mais próximo de \(B\) do que de \(A\). Portanto, nenhum ponto pode pertencer aos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Como esse argumento vale para qualquer par de pontos distintos, concluímos que \(\mathbb{R}^2\), com a métrica euclidiana, é Hausdorff.
Exemplo 2
Considere agora \(\mathbb{R}\) com a topologia do complemento finito.
Nessa topologia, um conjunto \(U \subseteq \mathbb{R}\) é aberto se for vazio ou se o seu complementar \(\mathbb{R} \setminus U\) for finito.
Isso significa que um aberto contém “quase todos” os números reais, deixando de fora apenas um número finito deles.
Sejam \(x, y \in \mathbb{R}\) dois pontos distintos.
Tentemos separá-los por dois abertos disjuntos \(U\) e \(V\), contendo respectivamente \(x\) e \(y\).
Se \(U\) contém \(x\), então ele inclui todos os reais, exceto um conjunto finito. O mesmo vale para \(V\), que contém \(y\).
Mas isso cria um problema: ambos os conjuntos contêm quase todos os pontos reais. Portanto, a sua interseção contém infinitos pontos. Logo, não é possível que \(U \cap V = \varnothing\).
Observação : Por exemplo, considere \(x = 1\) e \(y = 2\). Mesmo que tentemos excluir pequenas regiões em torno desses pontos, cada conjunto aberto continuará contendo todos os outros números reais. Assim, a interseção nunca será vazia.
Concluímos, portanto, que o espaço \((\mathbb{R}, \text{topologia do complemento finito})\) não é Hausdorff.
Consequentemente, esse espaço não é metrizável.
Demonstração geral
Sejam \(x\) e \(y\) dois pontos distintos em um espaço métrico \((X, d)\).
Como \(x \ne y\), temos \(d(x, y) > 0\). Denotemos \(\varepsilon = d(x, y)\).
Consideremos as bolas abertas centradas em \(x\) e em \(y\), ambas com raio \(\varepsilon / 2\):
- \(U = \{z \in X : d(x, z) < \varepsilon / 2\}\),
- \(V = \{z \in X : d(y, z) < \varepsilon / 2\}\).
Vamos mostrar que esses conjuntos são disjuntos.
Suponhamos, por absurdo, que exista um ponto \(z \in U \cap V\). Então:
- \(d(x, z) < \varepsilon / 2\),
- \(d(z, y) < \varepsilon / 2\).
Pela desigualdade triangular:
$$ d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $$
Isso contradiz o fato de que \(d(x, y) = \varepsilon\).
Portanto, \(U\) e \(V\) não têm pontos em comum.
Assim, em qualquer espaço métrico, dois pontos distintos podem sempre ser separados por abertos disjuntos.
Todo espaço métrico é, portanto, Hausdorff.
A demonstração está concluída.
