Cómo obtener una matriz inversa con entradas enteras

Una matriz tendrá inversa con entradas enteras únicamente si su determinante es 1. Por tanto, el problema se reduce a identificar matrices cuyo determinante sea igual a 1.

Matrices 2x2 con determinante 1

Consideremos una matriz 2x2 general con determinante unitario:

$$ \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = 1 $$

Dado que el determinante es

$$ ad - bc = 1 $$

debemos encontrar valores enteros de \(a, b, c, d\) que satisfagan esta relación.

Por ejemplo, si \( ad = 9 \) y \( bc = 8 \), la condición se cumple. Eligiendo \( a = 3 \) y \( d = 3 \), resulta:

$$ M = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$

Aquí \( b = 2 \) y \( c = 4 \) producen \( bc = 8 \). La matriz resultante tiene determinante 1:

$$ \det M = \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = 1 $$

Al tener determinante 1, la matriz es invertible y su inversa contiene únicamente números enteros:

$$ M^{-1 } = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} $$

Comprobación. Multiplicamos M por su inversa: $$ M \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Como era de esperar, el producto es la matriz identidad.

Matrices 3x3 con determinante 1

Consideremos ahora enteros arbitrarios \( a, b, c, d, e, f \) y construyamos el producto:

$$ \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ d & 1 & 0 \\ e & f & 1 \end{pmatrix} $$

El resultado es una matriz 3x3 con determinante igual a 1:

$$ \det \left( \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ d & 1 & 0 \\ e & f & 1 \end{pmatrix} \right) = 1 $$

Esto asegura una matriz invertible cuya inversa también está formada por enteros.

Por ejemplo, con \( a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5, f = 6 \):

$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ M = \begin{pmatrix} 15 & 13 & 2 \\ 19 & 19 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \end{pmatrix} $$

Esta matriz también tiene determinante 1:

$$ \det M = \det \begin{pmatrix} 15 & 13 & 2 \\ 19 & 19 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \end{pmatrix} = 1 $$

En consecuencia, su inversa está compuesta exclusivamente por enteros:

$$ M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -4 & 5 & -7 \\ 19 & -25 & 38 \end{pmatrix} $$

Y así sucesivamente: el mismo razonamiento puede extenderse a dimensiones mayores.