Ejercicio: Cálculo de la Inversa de una Matriz (1)

Queremos calcular la inversa de la siguiente matriz:

$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Para ello utilizamos el método de eliminación de Gauss-Jordan.

El procedimiento comienza escribiendo la matriz identidad I junto a la matriz A:

$$ A | I = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

A continuación aplicamos operaciones elementales por filas con el fin de transformar el bloque de la izquierda en la matriz identidad.

En primer lugar, dividimos la primera fila entre 4 (R1 → R1·1/4):

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Seguidamente, intercambiamos la segunda y la tercera fila (R2 ↔ R3):

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Ahora restamos la tercera fila a la segunda (R2 → R2 − R3):

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Después restamos la primera fila a la cuarta (R4 → R4 − R1):

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 &| & -\tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

A continuación restamos la segunda fila a la cuarta (R4 → R4 − R2):

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &| & -\tfrac{1}{4} & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$

Finalmente, dividimos la tercera fila entre 2 (R3 → R3·1/2):

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &| & -\tfrac{1}{4} & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$

En este punto el bloque izquierdo ya se ha transformado en la matriz identidad I.

Por consiguiente, el bloque derecho corresponde a la inversa de A:

$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\tfrac{1}{4} & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$

De esta forma queda concluido el cálculo.