Determinante modular de una matriz

El determinante modular de una matriz es el determinante calculado tomando los resultados módulo un número dado n.

Para obtener el determinante módulo n, en primer lugar se calcula el determinante de la matriz de forma habitual.

A continuación, al resultado obtenido se le aplica la operación módulo n, obteniéndose así el determinante modular.

¿Qué entendemos por módulo? El módulo de un número es el residuo que queda al dividirlo entre otro, llamado divisor. En la aritmética modular, esta operación se expresa como a mod  n e indica el resto de dividir a entre n. Por ejemplo, $$ 8 \mod 5 = 3 $$ ya que al dividir 8 entre 5, el residuo es 3. Este concepto tiene aplicaciones fundamentales en criptografía.

Ejemplo práctico

Calculemos el determinante modular de una matriz 2×2 con módulo 5.

$$ A = \begin{pmatrix} 8 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \ \mod \ 5 $$

En primer lugar, calculamos su determinante:

$$ \det(A) \ \mod \ 5 = ( 8 \cdot 2 ) - ( -1 \cdot 3 ) \ \mod \ 5 $$

$$ \det(A) \ \mod \ 5 = 16 + 3 \ \mod \ 5 $$

$$ \det(A) \ \mod \ 5 = 19 \ \mod \ 5 $$

Aplicamos ahora la operación módulo 5.

Como 19 dividido entre 5 deja un residuo de 4, se obtiene:

$$ \det(A) \ \mod \ 5 = 4 $$

Nota. El determinante modular depende del módulo escogido. Al variar dicho módulo, el resultado puede cambiar de manera significativa, incluso tratándose de la misma matriz.

Otro ejemplo

Calculemos ahora el determinante modular de la misma matriz, pero esta vez con módulo 6.

$$ A = \begin{pmatrix} 8 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \ \mod \ 6 $$

Seguimos exactamente el mismo procedimiento:

$$ \det(A) \ \mod \ 6 = ( 8 \cdot 2 ) - ( -1 \cdot 3 ) \ \mod \ 6 $$

$$ \det(A) \ \mod \ 6 = 16 + 3 \ \mod \ 6 $$

$$ \det(A) \ \mod \ 6 = 19 \ \mod \ 6 $$

Aplicando la operación módulo 6:

Como 19 dividido entre 6 deja un residuo de 1, obtenemos:

$$ \det(A) \ \mod \ 6 = 1 $$

Obsérvese cómo el valor del determinante cambia al pasar de módulo 5 a módulo 6.

Y así sucesivamente.