Ejercicio 1: Cálculo de un determinante
Calculemos el determinante de la siguiente matriz:
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$
Para simplificar el cálculo aplicaremos el método de eliminación de Gauss.
El objetivo es transformar la matriz en una forma triangular superior utilizando operaciones elementales por filas:
- Sumar a una fila un múltiplo de otra
- Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero
- Intercambiar dos filas
Conviene recordar que intercambiar dos filas cambia el signo del determinante.
Paso 1
Intercambiamos la segunda y la tercera fila:
$$ R2 \leftrightarrow R3 $$
La matriz queda ahora:
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$
Paso 2
Restamos la segunda fila a la cuarta:
$$ R4 = R4 - R2 $$
Actualizando la matriz obtenemos:
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0-0 & 1-1 & 2-2 & 2-1 \end{pmatrix} $$
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
La matriz se encuentra ahora en forma triangular superior.
En este punto, el determinante es simplemente el producto de los elementos de la diagonal principal.
Dado que realizamos un número impar de intercambios de filas, debemos cambiar el signo del resultado:
$$ - \det(A) = - \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = - (5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 ) = - 5 $$
Por tanto, el determinante de la matriz es -5.
Y así sucesivamente.
