Teorema de Binet

Enunciado del Teorema de Binet

El determinante del producto de dos matrices cuadradas, det(AB), coincide con el producto de sus determinantes: $$ \det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) $$

Veamos un ejemplo con dos matrices cuadradas del mismo orden:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

$$ B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} $$

El producto de A y B es:

$$ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} $$

Desarrollando la multiplicación:

$$ AB = \begin{pmatrix} (1 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 4 + 2 \cdot 6) \\ (3 \cdot 2 + 4 \cdot 1) & (3 \cdot 4 + 4 \cdot 6) \end{pmatrix} $$

$$ AB = \begin{pmatrix} 2 + 2 & 4 + 12 \\ 6 + 4 & 12 + 24 \end{pmatrix} $$

$$ AB = \begin{pmatrix} 4 & 16 \\ 10 & 36 \end{pmatrix} $$

Calculamos ahora el determinante del producto:

$$ \det(AB) = \begin{vmatrix} 4 & 16 \\ 10 & 36 \end{vmatrix} = 4 \cdot 36 - 16 \cdot 10 = 144 - 160 = -16 $$

A continuación, determinemos por separado los determinantes de A y B:

$$ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 $$

$$ \det(B) = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 1 = 12 - 4 = 8 $$

Multiplicando ambos determinantes se obtiene:

$$ \det(A) \cdot \det(B) = -2 \cdot 8 = -16 $$

Dado que los dos procedimientos llevan al mismo resultado, se confirma que:

$$ \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) = -2 \cdot 8 = -16 $$

Queda así demostrada la validez del teorema de Binet.