Ejercicio 2: Cálculo de un determinante
Calculemos el determinante de la siguiente matriz:
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} $$
Para simplificar el cálculo emplearemos el método de eliminación de Gauss.
El objetivo es transformar la matriz en forma triangular superior mediante operaciones elementales por filas:
- Sumar un múltiplo de una fila a otra
- Multiplicar una fila por un escalar
- Intercambiar dos filas
Si el número de intercambios de filas es impar, el signo del determinante debe invertirse.
Paso 1
Intercambiamos la primera y la cuarta fila:
$$ R1 \leftrightarrow R4 $$
La matriz queda ahora:
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} $$
Paso 2
Restamos la tercera fila a la cuarta:
$$ R4 = R4 - R3 $$
La matriz se actualiza a:
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} $$
Paso 3
Intercambiamos la segunda y la tercera fila:
$$ R2 \leftrightarrow R3 $$
La matriz pasa a ser:
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} $$
En este punto la matriz ya está en forma triangular superior, por lo que el determinante se obtiene directamente como el producto de los elementos de la diagonal principal.
Dado que hemos realizado un número par de intercambios de filas, el signo del determinante no se ve afectado:
$$ \det(A) = \det \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 5 \cdot 1 \cdot 0 \cdot 4 = 0 $$
Por lo tanto, el determinante de la matriz es 0.
Con esto queda resuelto el ejercicio.
