Ejercicio sobre Bases de Espacios Vectoriales 4
Nos proponemos demostrar que toda base del espacio vectorial $V = \mathbb{R}^n$ está formada por exactamente $n$ vectores.
$$ V = \mathbb{R}^n $$
Por definición, un espacio vectorial tiene dimensión $n$ si cualquier base $ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \} $ contiene exactamente $n$ vectores linealmente independientes:
$$ B = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , \dots , \vec{v}_n \} $$
Para verificarlo, consideramos un ejemplo clásico: el conjunto de los vectores unitarios estándar.
$$ B = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
Paso 1: Demostrar que el conjunto genera $\mathbb{R}^n$
El conjunto $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \}$ genera $\mathbb{R}^n$ si todo vector $\vec{v} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ puede expresarse como combinación lineal de estos vectores:
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + \dots + k_n \vec{v}_n = \vec{v} $$
Al sustituir los vectores de la base, se obtiene:
$$ k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \dots + k_n \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} $$
Lo cual equivale al sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} k_1 = a_1 \\ k_2 = a_2 \\ \vdots \\ k_n = a_n \end{cases} $$
Cada ecuación tiene una solución única: basta con tomar $k_i = a_i$ para todo $i$.
Por tanto, el conjunto $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \}$ genera efectivamente $\mathbb{R}^n$.
Paso 2: Demostrar la independencia lineal
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si la única solución de la ecuación:
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + \dots + k_n \vec{v}_n = \vec{0} $$
es la solución trivial: $k_1 = k_2 = \dots = k_n = 0$.
Al sustituir los vectores estándar, se obtiene:
$$ k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \dots + k_n \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $$
Esto da lugar al sistema:
$$ \begin{cases} k_1 = 0 \\ k_2 = 0 \\ \vdots \\ k_n = 0 \end{cases} $$
que admite únicamente la solución trivial.
En consecuencia, los vectores $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \}$ son linealmente independientes.
Paso 3: Conclusión
Como el conjunto $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \}$ genera $\mathbb{R}^n$ y además es linealmente independiente, podemos afirmar que:
Constituye una base de $\mathbb{R}^n$.
Nota: Los vectores $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \}$ - donde $\vec{v}_1 = (1, 0, \dots, 0)$, $\vec{v}_2 = (0, 1, \dots, 0)$, ..., $\vec{v}_n = (0, 0, \dots, 1)$ - forman la base canónica de $\mathbb{R}^n$.
Según el teorema de la dimensión, todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad, es decir, el mismo número de elementos.
Dado que la base canónica tiene $n$ vectores, se concluye que toda base de $\mathbb{R}^n$ contiene exactamente $n$ vectores linealmente independientes.
Y así sucesivamente.
