Ejercicio sobre Bases de Espacios Vectoriales 5

Sea $V = \mathbb{R}^3$ un espacio vectorial de dimensión $\dim(V) = 3$. Consideramos el subespacio $W = \langle \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \rangle$ generado por los vectores $\vec{v}_1 = (2,\,0,\,1)$, $\vec{v}_2 = (1,\,1,\,2)$ y $\vec{v}_3 = (3,\,-1,\,0)$. Nuestro objetivo es determinar la dimensión del subespacio $W$ e identificar una base para él.

Los vectores dados son:

$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Estos tres vectores conforman un conjunto generador del subespacio $W$:

$$ W = \langle \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \rangle $$

Para determinar si constituyen una base, debemos verificar si son linealmente independientes.

Los vectores son linealmente independientes si la ecuación

$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v}_3 = \vec{0} $$

solo admite la solución trivial $k_1 = k_2 = k_3 = 0$.

Al sustituir los vectores en la ecuación, se obtiene:

$$ \begin{pmatrix} 2k_1 + k_2 + 3k_3 \\ k_2 - k_3 \\ k_1 + 2k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Lo que equivale al siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \begin{cases} 2k_1 + k_2 + 3k_3 = 0 \\ k_2 - k_3 = 0 \\ k_1 + 2k_2 = 0 \end{cases} $$

De la segunda ecuación obtenemos $k_2 = k_3$, y de la tercera, $k_1 = -2k_2$. Sustituyendo ambas expresiones en la primera:

$$ 2(-2k_2) + k_2 + 3k_2 = -4k_2 + k_2 + 3k_2 = 0 $$

La identidad $0 = 0$ confirma que el sistema admite infinitas soluciones. Por tanto, los vectores son linealmente dependientes y, en consecuencia, no forman una base de $W$.

Para obtener una base, basta eliminar uno de los vectores dependientes. Dado que $\vec{v}_3 = 2\vec{v}_1 - \vec{v}_2$, podemos descartar $\vec{v}_3$ y conservar los vectores restantes:

$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2 \} $$

Puesto que $\vec{v}_3$ pertenece al subespacio generado por $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$, el conjunto reducido sigue generando $W$:

$$ W = \langle \vec{v}_1, \vec{v}_2 \rangle $$

Comprobemos ahora si $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ son linealmente independientes:

$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 = \vec{0} $$

Al sustituir los vectores:

$$ \begin{pmatrix} 2k_1 + k_2 \\ k_2 \\ k_1 + 2k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Obtenemos el sistema:

$$ \begin{cases} 2k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 = 0 \\ k_1 + 2k_2 = 0 \end{cases} $$

De la segunda ecuación se deduce que $k_2 = 0$, y sustituyéndolo en la primera se obtiene $k_1 = 0$. Por tanto, la única solución es la trivial, lo que confirma que los vectores son linealmente independientes.

En consecuencia, el conjunto $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2 \}$ forma una base del subespacio $W$:

$$ B_W = \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2 \} $$

Como esta base contiene dos vectores, la dimensión del subespacio $W$ es:

$$ \dim(W) = 2 $$

Y así sucesivamente.