Forma binómica de los números complejos

Un número complejo (a,b) también puede expresarse en forma binómica, o forma algebraica, como la suma de un número real $a$ y un término imaginario $bi$: $$ (a,b) = a + b \cdot i $$

En esta expresión, $i$ es la unidad imaginaria, que en la representación mediante pares ordenados corresponde a $i = (0,1)$ y cumple la propiedad $i^2=-1$. Los valores $a$ y $b$ son números reales.

El número $a$ se denomina parte real del número complejo, mientras que $b$ es su parte imaginaria. El producto $b \cdot i$ es el término imaginario.

Esta representación también recibe el nombre de forma algebraica de los números complejos.

Representación de los números complejos en el plano de Gauss

Nota: La forma binómica no es la única manera de representar un número complejo. También existen otras representaciones, como la forma trigonométrica y la forma exponencial.

Si la parte real es cero ($a = 0$), el número complejo $z = a + bi$ se denomina número imaginario puro.

Por ejemplo, $z = 3i$ es un número imaginario puro:

$$ z = 3i $$

En cambio, si la parte imaginaria es cero ($b = 0$), el número complejo $z = a + bi$ es un número real.

Por ejemplo, $z = 5$ es un número real:

$$ z = 5 $$

Por tanto, el conjunto de los números complejos ($\mathbb{C}$) contiene como subconjuntos tanto al conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) como al de los números imaginarios puros ($\mathbb{I}$).

Sin embargo, los números complejos no se limitan a estos dos tipos. También pueden tener una parte real y una parte imaginaria distintas de cero.

Nota: El conjunto de los números complejos es más amplio que la unión de los números reales y los imaginarios puros. Esta unión solo contiene los números que cumplen $a = 0$ o $b = 0$, mientras que $\mathbb{C}$ también incluye aquellos en los que ambas partes son distintas de cero. El cero pertenece tanto al conjunto de los números reales como al de los imaginarios puros.
Conjunto de los números complejos y sus subconjuntos de números reales e imaginarios puros

Ejemplo de representación en forma binómica
Operaciones con números complejos en forma binómica

Ejemplo de representación en forma binómica

Considero el número complejo (2,3), expresado como par ordenado:

$$ (a,b) = (2,3) $$

Su parte real es $a = 2$ y su parte imaginaria es $b = 3$.

Representación del número complejo (2,3) en el plano de Gauss

Para escribirlo en forma binómica, utilizo la expresión $a+bi$ y sustituyo los valores de $a$ y $b$:

$$ (2,3) = 2 + 3i $$

En el plano de Gauss, ambas expresiones representan el mismo punto.

Representación del número complejo 2 + 3i en forma binómica

Por tanto, al escribir (2,3) o $2 + 3i$, estoy representando el mismo número complejo. Solo cambia la forma de expresarlo.

Nota: A cada punto (x, y) del plano de Gauss le corresponde un único número complejo, y viceversa. Por ejemplo, el punto (2,3) representa el número complejo $2 + 3i$. Esta correspondencia permite relacionar la representación algebraica de los números complejos con su interpretación geométrica.

Operaciones con números complejos en forma binómica

La forma binómica permite realizar operaciones con números complejos utilizando las propiedades habituales del álgebra. Solo debo tener en cuenta que $a$ y $b$ son números reales y que la unidad imaginaria cumple $i^2 = -1$.

Así, puedo sumar, restar y multiplicar números complejos de forma similar a como opero con binomios. Para dividirlos, utilizo además el conjugado del denominador.

Operaciones básicas con números complejos

Suma y resta
Para sumar o restar dos números complejos, opero por separado sus partes reales y sus partes imaginarias: $$ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $$ $$
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $$
Ejemplo: $$ (3 + 2i) + (1 - 4i) = (3 + 1) + (2 - 4)i = 4 - 2i $$
Multiplicación
Para multiplicar dos números complejos, aplico la propiedad distributiva y sustituyo $i^2$ por -1. Después, agrupo los términos reales y los imaginarios: $$ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
$$
Ejemplo: $$ (2 + 3i)(1 + 4i) = 2 + 8i + 3i + 12i^2 = 2 + 11i - 12 = -10 + 11i $$
Conjugado de un número complejo
Para obtener el conjugado de un número complejo, mantengo su parte real y cambio el signo de la parte imaginaria: $$ \overline{a + bi} = a - bi $$
Ejemplo: El conjugado de $3 + 4i$ es $3 - 4i$.
División
Para dividir dos números complejos, siempre que el divisor sea distinto de cero, multiplico el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Así obtengo un denominador real y puedo expresar el resultado en forma binómica: $$ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $$
Ejemplo: $$ \frac{3 + 2i}{1 - i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} $$ $$ = \frac{3 + 5i - 2}{2} $$ $$ = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i = 0{,}5 + 2{,}5i $$
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo $a + bi$ es la distancia entre el origen y el punto que lo representa en el plano de Gauss. Para calcularlo, aplico el teorema de Pitágoras: $$ |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Ejemplo: El módulo de $3 + 4i$ es $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

La forma binómica facilita los cálculos con números complejos porque permite aplicar las propiedades habituales del álgebra. De este modo, puedo trabajar con ellos como una extensión de los números reales y estudiar sus propiedades tanto algebraicas como geométricas.