Números imaginarios
Un número imaginario es un número complejo de la forma \( (0,b) \), donde \(b\) es un número real y la parte real del número complejo es cero. $$ (0,b) $$ También puede escribirse en forma binómica como \( bi \). $$ b \cdot i $$ En esta expresión, \( i \) es la unidad imaginaria, definida mediante el par ordenado \( i = (0,1) \).
En otras palabras, podemos representar un número imaginario mediante un par ordenado de números reales cuya primera componente siempre es cero. Su valor depende únicamente de la segunda componente, que corresponde a la parte imaginaria.
Desde el punto de vista geométrico, los números imaginarios se representan sobre el eje imaginario (Im) del plano complejo, también llamado plano de Argand-Gauss.
Entre todos los números imaginarios hay uno especialmente importante: \( (0,1) \), conocido como unidad imaginaria. A partir de él podemos expresar cualquier otro número imaginario.
La unidad imaginaria
La unidad imaginaria es el número complejo \( (0,1) \), cuyo cuadrado es igual a -1. Se representa habitualmente mediante la letra \( i \), aunque en algunas disciplinas también se utiliza \( j \). $$ i = (0,1) $$
En el plano complejo, la unidad imaginaria se encuentra sobre el eje vertical, a una unidad del origen, como muestra la siguiente imagen.
Nota. En matemáticas se utiliza normalmente la letra \( i \) para representar la unidad imaginaria. En ingeniería eléctrica y electrónica, en cambio, suele emplearse \( j \) para evitar confusiones con el símbolo de la intensidad de corriente eléctrica. Ambas letras representan el mismo número complejo: $$ i = j = (0,1) $$
La característica que hace tan importante a la unidad imaginaria es que su cuadrado es igual a -1.
$$ i^2 = (0,1)^2 = -1 $$
Esta igualdad puede parecer sorprendente. Al fin y al cabo, el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero. Sin embargo, la unidad imaginaria pertenece al conjunto de los números complejos, donde esta propiedad es perfectamente válida.
Demostración. Vamos a comprobarlo calculando el cuadrado de la unidad imaginaria \( (0,1)^2 \). Para ello, multiplicamos el número complejo \( (0,1) \) por sí mismo. $$ (0,1)^2 = (0,1) \cdot (0,1) $$ Aplicamos la regla de multiplicación de números complejos expresados como pares ordenados: $$ (0,1)^2 = ( 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 ) $$ $$ (0,1)^2 = ( 0 - 1, 0 + 0 ) $$ $$ (0,1)^2 = ( -1, 0 ) $$ El resultado es el número real \(-1\), que en forma de par ordenado se representa como \((-1,0)\). Por tanto, queda demostrado que el cuadrado de la unidad imaginaria \( i = (0,1) \) es \( i^2 = -1 \).
Esta propiedad nos permite calcular raíces cuadradas de números reales negativos. Aunque estas raíces no existen dentro del conjunto de los números reales, sí podemos encontrarlas cuando trabajamos con números complejos.
Ejemplo
Supongamos que queremos calcular la raíz cuadrada de -9:
$$ x = \sqrt{-9} $$
En el conjunto de los números reales, esta expresión no tiene valor, porque ningún número real elevado al cuadrado da como resultado -9.
Sin embargo, podemos calcularla utilizando la unidad imaginaria. Primero, escribimos -9 como el producto de -1 por 9:
$$ x = \sqrt{-1 \cdot 9} $$
Como sabemos que \( i^2 = -1 \), sustituimos -1 por \( i^2 \):
$$ x = \sqrt{i^2 \cdot 9} $$
Si consideramos la raíz cuadrada principal en el conjunto de los números complejos, obtenemos:
$$ x = i \cdot \sqrt{9} $$
Ahora solo tenemos que calcular la raíz cuadrada de 9, que es un número real positivo:
$$ x = i \cdot 3 = 3i $$
Por tanto, la raíz cuadrada principal de -9 es \(3i\).
Pero hay una distinción importante. Si en lugar de calcular la raíz cuadrada principal queremos resolver la ecuación \(x^2=-9\), debemos considerar tanto la solución positiva imaginaria como su opuesta:
$$ x = \pm i \cdot 3 $$
Las dos soluciones son los números imaginarios \( 0 + 3i \) y \( 0 - 3i \), que también pueden representarse mediante los pares ordenados \( (0,3) \) y \( (0,-3) \):
$$ x^2 = -9 \Rightarrow x = \begin{cases} 0 + 3i \\ \\ 0 - 3i \end{cases} $$
Estos números son complejos conjugados, porque tienen la misma parte real y sus partes imaginarias son opuestas.
Otras propiedades de la unidad imaginaria
La unidad imaginaria también permite transformar un número real en un número imaginario mediante una multiplicación.
En general, si multiplicamos la unidad imaginaria \( (0,1) \) por un número real \(a\), representado como \( (a,0) \), obtenemos el número imaginario \( (0,a) \):
$$ (a,0) \cdot (0,1) = (0,a) $$
Es decir, el valor que inicialmente aparece en la parte real pasa a ocupar la parte imaginaria del resultado.
Demostración. Podemos comprobar esta propiedad aplicando la regla de multiplicación de números complejos: $$ (a,0) \cdot (0,1) = (a \cdot 0 - 0 \cdot 1, a \cdot 1 + 0 \cdot 0) $$ $$ (a,0) \cdot (0,1) = (0 - 0, a + 0) $$ $$ (a,0) \cdot (0,1) = (0, a) $$
Ejemplo
Veamos qué ocurre al multiplicar el número real \( z_1 = (5,0) \), expresado como número complejo, por la unidad imaginaria \( i = (0,1) \):
$$ z_1 \cdot i = (5,0) \cdot (0,1) $$ $$ z_1 \cdot i = (5 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 5 \cdot 1 + 0 \cdot 0) $$ $$ z_1 \cdot i = (0 - 0, 5 + 0) $$ $$ z_1 \cdot i = (0, 5) $$
Como vemos, el resultado es un número imaginario cuya parte real es cero y cuya parte imaginaria es 5. En forma binómica, este número se escribe \(5i\).
Ejemplo práctico
Para entender mejor cómo se comportan los números imaginarios, vamos a comparar dos operaciones sencillas: la suma y la multiplicación.
Consideremos estos dos números imaginarios:
$$ z_1 = (0,4) $$
$$ z_2 = (0,3) $$
Empecemos por la suma. Solo tenemos que sumar las componentes correspondientes de ambos números:
$$ z_1 + z_2 = (0,4) + (0,3) = (0+0,4+3) = (0,7) $$
El resultado es otro número imaginario, ya que su parte real sigue siendo cero.
Ahora veamos qué sucede al multiplicarlos. En este caso, el producto de dos números imaginarios es un número real.
Aplicamos la regla de multiplicación de números complejos:
$$ z_1 \cdot z_2 = (0,4) \cdot (0,3) $$
$$ z_1 \cdot z_2 = (0 \cdot 0 - 4 \cdot 3, 0 \cdot 3 + 4 \cdot 0) $$
$$ z_1 \cdot z_2 = (0 - 12, 0 + 0) $$
$$ z_1 \cdot z_2 = (-12, 0) $$
Obtenemos -12, un número real que, expresado como par ordenado, se escribe \((-12,0)\).
Este ejemplo muestra una diferencia importante: mientras que la suma de dos números imaginarios siempre produce otro número imaginario, su producto es un número real.
Forma binómica de los números imaginarios
Todo número imaginario \( (0,b) \) puede escribirse en forma binómica como \( bi \), donde \( b \) es un número real e \( i \) es la unidad imaginaria, definida por \( i = (0,1) \). $$ (0,b) = bi $$
Esta forma de escribir los números imaginarios resulta especialmente útil para realizar operaciones algebraicas, ya que permite trabajar directamente con los coeficientes de la unidad imaginaria.
Demostración
Vamos a comprobar por qué ambas representaciones son equivalentes.
Partimos de un número imaginario cualquiera:
$$ z = (0,b) $$
Queremos demostrar que podemos expresarlo como el producto de un número real por la unidad imaginaria:
$$ z = b \cdot i $$
Para ello, sustituimos \( i \) por su representación como par ordenado, \( i = (0,1) \):
$$ z = b \cdot i = b \cdot (0,1) $$
Multiplicamos el número real \( b \) por cada una de las componentes del par ordenado:
$$ z = b \cdot i = b \cdot (0,1) = (b \cdot 0 , b \cdot 1) $$
El resultado es \( (0,b) \). Por tanto, queda demostrada la igualdad \(bi=(0,b)\), que nos permite pasar de una representación a otra.
Nota. En forma binómica, algunas operaciones con números imaginarios se parecen a las que realizamos con términos algebraicos semejantes. Sin embargo, hay una diferencia fundamental: \( i \) no es una variable, sino una constante matemática cuyo cuadrado es -1. Por eso, expresiones como \( 3i \) representan números complejos concretos y no monomios en una variable.
Operaciones con números imaginarios
Los números imaginarios permiten realizar las operaciones aritméticas habituales: suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Cada una tiene sus propias reglas, aunque muchas se simplifican al utilizar la forma binómica.
Veamos cómo se realizan estas operaciones.
- Suma de números imaginarios
Para sumar dos números imaginarios \( z_1 = (0,a) \) y \( z_2 = (0,b) \), sumamos sus partes imaginarias. La parte real del resultado sigue siendo cero: $$ z_1 + z_2 = (0,a) + (0,b) = (0,a+b) $$ En forma binómica, la operación es aún más sencilla, porque basta con sumar los coeficientes de la unidad imaginaria: $$ z_1 + z_2 = ai + bi = (a+b)i $$ - Resta de números imaginarios
La resta se realiza de forma similar a la suma. Dados dos números imaginarios \( z_1 = (0,a) \) y \( z_2 = (0,b) \), calculamos la diferencia entre sus partes imaginarias: $$ z_1 - z_2 = (0,a) - (0,b) = (0,a-b) $$ En forma binómica, simplemente restamos los coeficientes: $$ z_1 - z_2 = ai - bi = (a-b)i $$ - Multiplicación de números imaginarios
Al multiplicar dos números imaginarios \( z_1 = (0,a) \) y \( z_2 = (0,b) \), obtenemos un número real. Su valor es el opuesto del producto de los coeficientes: $$ z_1 \cdot z_2 = (0,a) \cdot (0,b) = -ab $$ En forma binómica, podemos comprobarlo fácilmente utilizando la propiedad \( i^2=-1 \): $$ z_1 \cdot z_2 = ai \cdot bi = ab i^2 = ab(-1) = -ab $$ - División de números imaginarios
Cuando dividimos un número imaginario \( z_1 = (0,a) \) entre otro \( z_2 = (0,b) \), con \(b \neq 0\), el resultado es un número real igual al cociente de sus coeficientes: $$ (0,a) : (0,b) = (a:b, 0) $$ En forma binómica, podemos simplificar la unidad imaginaria, que aparece tanto en el numerador como en el denominador: $$ ai : bi = a:b $$ - Potencias de números imaginarios
Para elevar un número imaginario a una potencia de exponente entero positivo, elevamos por separado el coeficiente real y la unidad imaginaria: $$ (ai)^n = a^n \cdot i^n $$ Las potencias de \( i \) siguen un ciclo que se repite cada cuatro exponentes: \( i^0 = 1 \), \( i^1 = i \), \( i^2 = -1 \), \( i^3 = -i \). Después, el ciclo vuelve a comenzar, puesto que \(i^4=1\). Esta periodicidad permite calcular fácilmente potencias de \(i\) con exponentes elevados.
Nota. La suma y la resta son operaciones internas en el conjunto de los números imaginarios, porque sus resultados siempre pertenecen a ese conjunto. En cambio, la multiplicación y la división no son operaciones internas, ya que sus resultados son números reales que, salvo el cero, no pertenecen al conjunto de los números imaginarios. Además, en cualquier división, el divisor debe ser distinto de cero.
Observaciones adicionales
Antes de terminar, conviene aclarar algunas cuestiones que suelen generar dudas al estudiar los números imaginarios.
- El cero también puede considerarse un número imaginario
Si definimos los números imaginarios como aquellos números complejos cuya parte real es cero, el propio cero pertenece a este conjunto. Esto se debe a que podemos escribirlo como el producto de cero por la unidad imaginaria: $$ 0 = 0 \cdot i $$ Sin embargo, cuando se utiliza la expresión número imaginario puro exclusivamente para los números de la forma \(bi\) con \(b \neq 0\), el cero queda excluido. Por tanto, esta distinción depende de la convención adoptada. - Los números imaginarios no son monomios en una variable
Algunas operaciones con números imaginarios recuerdan a las que realizamos con términos algebraicos semejantes. Por ejemplo, podemos sumar \( 4i + 3i = 7i \). Sin embargo, la letra \( i \) no representa una variable, sino una constante matemática. Por eso, expresiones como \(4i\) y \(3i\) son números complejos. Podemos sumarlos directamente porque ambos son múltiplos de la misma unidad imaginaria.
Los números imaginarios son una herramienta fundamental de las matemáticas. Gracias a ellos podemos resolver ecuaciones que no tienen solución en los números reales y trabajar con el conjunto más amplio de los números complejos, que también desempeña un papel importante en campos como la física, la ingeniería eléctrica y el análisis de señales.
