Los números reales como números complejos
Un número complejo con parte imaginaria nula tiene la forma (a,0), donde a es un número real. Este número complejo se identifica con el número real a.
De este modo, los números reales pueden entenderse como un caso particular de los números complejos: aquellos cuya parte imaginaria es cero.
En el plano complejo, también llamado plano de Gauss, todos ellos se sitúan sobre el eje horizontal (Re), conocido como eje real.
Nota. Existe una correspondencia biunívoca entre los números complejos con parte imaginaria nula y los números reales. Es decir, a cada número complejo (a,0) le corresponde un único número real a, y viceversa. $$ (a,0) \leftrightarrow a $$ Esta correspondencia preserva la suma y el producto, lo que permite identificar (a,0) con a. Por ejemplo, con esta identificación, escribir (2,0) equivale a escribir 2.
Además, el conjunto de los números complejos con parte imaginaria nula es cerrado respecto de la suma y el producto, igual que el conjunto de los números reales.
$$ (a,0) + (b,0) = (a + b, 0) $$
$$ (a,0) \cdot (b,0) = (a \cdot b, 0) $$
¿Qué significa que sea cerrado? Que al sumar o multiplicar dos números de este conjunto, el resultado sigue perteneciendo al mismo conjunto: su parte imaginaria también es cero.
Ejemplo paso a paso: suma y producto
Veamos cómo funciona con dos números complejos de este tipo:
$$ z_1 = (2,0) $$
$$ z_2 = (3,0) $$
Para obtener su suma, sumamos las componentes correspondientes. Como ambas partes imaginarias son cero, la parte imaginaria del resultado también lo es.
$$ z_1 + z_2 = (2,0) + (3,0) = (2+3, 0+0) = (5,0) $$
Nota. La suma de números complejos (2,0) + (3,0) = (5,0) corresponde exactamente a la suma de números reales 2 + 3 = 5.
Para calcular su producto, aplicamos la regla de multiplicación de números complejos. La segunda componente del par ordenado resultante vuelve a ser cero, por lo que el producto también tiene la parte imaginaria nula.
$$ z_1 \cdot z_2 = (2,0) \cdot (3,0) = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, 2 \cdot 0 + 0 \cdot 3) = (6,0) $$
Nota. El producto de números complejos (2,0) · (3,0) = (6,0) corresponde exactamente al producto de números reales 2 · 3 = 6.
El mismo razonamiento se aplica a cualquier par de números complejos con parte imaginaria nula.
