El plano de Gauss

El plano de Gauss, también llamado plano complejo, es un plano cartesiano (Oxy) que permite representar gráficamente los números complejos. Está formado por dos ejes perpendiculares: el eje horizontal (x), denominado eje real (Re), y el eje vertical (y), conocido como eje imaginario (Im).
Plano de Gauss con el eje real horizontal y el eje imaginario vertical
El símbolo i representa la unidad imaginaria, que cumple la propiedad $ i^2=-1 $. En el plano de Gauss, esta unidad se representa mediante el punto de coordenadas (0,1).

Todo número complejo puede expresarse como un par ordenado (a, b) de números reales. El primer valor, a, corresponde a la parte real, mientras que el segundo, b, corresponde a la parte imaginaria.

$$ z = (a, b) $$

Esto significa que existe una correspondencia biunívoca entre los números complejos y los puntos del plano cartesiano (x, y).

Cada número complejo se representa mediante un único punto del plano y, a su vez, cada punto corresponde a un único número complejo.

Correspondencia entre los números complejos y los puntos del plano de Gauss

En el eje horizontal se representan los números reales. El eje vertical, en cambio, se utiliza para representar los números imaginarios puros.

De esta manera, podemos visualizar cualquier número complejo como un punto del plano. Su posición depende de dos coordenadas: la parte real determina la posición horizontal y la parte imaginaria, la posición vertical.

Esta forma de representar los números complejos se conoce como plano complejo o plano de Gauss.

Además, existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y los vectores de posición. Por tanto, un número complejo también puede representarse mediante un vector $ \vec{v} $ que parte del origen O y tiene componentes (a, b).

Representación de un número complejo mediante un vector en el plano de Gauss

En otras palabras, a cada número complejo $ a + bi $ le corresponde un único vector $ \vec{v} $ de $ \mathbb{R}^2 $. Del mismo modo, cada vector de este espacio puede asociarse a un único número complejo.

$$ a + bi \Longleftrightarrow \vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $$

Esta relación entre números complejos y vectores permite comprender la representación polar de los números complejos. En lugar de utilizar las partes real e imaginaria, podemos describir un número complejo mediante su distancia al origen y el ángulo que forma con el eje real positivo.

Representación polar de un número complejo mediante su módulo y su argumento

En coordenadas polares, cualquier número complejo no nulo $ z = a + bi $ puede representarse mediante dos valores (r, α):

El módulo (r) indica la longitud del vector $ \vec{v} $ que une el origen O del plano de Gauss, llamado polo, con el punto P(a, b). Es decir, representa la distancia entre el punto y el origen. Se calcula mediante la fórmula \( r=|z|=\sqrt{a^2+b^2} \ ).
El argumento (α) es el ángulo orientado que forma el vector con el semieje real positivo, denominado eje polar. Por convenio, los ángulos positivos se miden en sentido contrario al de las agujas del reloj.

Nota: En coordenadas polares, el origen O del plano de Gauss, denominado polo, puede expresarse mediante las coordenadas (0, α), donde α puede tomar cualquier valor angular. Esto ocurre porque el número complejo cero tiene módulo nulo y su argumento no está definido. Para cualquier número complejo distinto de cero, en cambio, existen infinitos ángulos que representan la misma dirección. Si α es uno de sus argumentos, también lo son todos los ángulos de la forma $ \alpha + 2k\pi $, donde $ k\in\mathbb{Z} $. Esto se debe a que sumar o restar vueltas completas, $ 2\pi = 360^\circ $, no cambia la dirección del vector. Para trabajar con un único valor se adopta una convención. Una de las más utilizadas consiste en elegir el argumento principal dentro del intervalo $ -\pi < \alpha \leq \pi $, aunque también es habitual utilizar el intervalo $ 0 \leq \alpha < 2\pi $.

Ejemplo práctico

Veamos cómo se representa un número complejo en el plano de Gauss.

Consideremos el número complejo $ z = 2 + 3i $.

$$ z = 2 + 3i $$

Su parte real es 2 y su parte imaginaria es 3. Por tanto, $ \operatorname{Re}(z)=2 $ e $ \operatorname{Im}(z)=3 $.

Para representarlo gráficamente, localizamos el valor 2 en el eje real y el valor 3 en el eje imaginario. El punto correspondiente tiene las coordenadas (2, 3).

Representación del número complejo 2 + 3i mediante el punto de coordenadas (2, 3) en el plano de Gauss

Así, el punto (2, 3) y el número complejo $ z = 2 + 3i $ son dos formas de representar el mismo elemento: una geométrica y otra algebraica.

Demostración: Podemos comprobar esta correspondencia mediante las operaciones con números complejos expresados como pares ordenados. En primer lugar, descomponemos el par (2, 3) en la suma de otros dos pares: (2, 0), que representa un número real, y (0, 3), que representa un número imaginario puro. $$ (2, 3) = (2, 0) + (0, 3) $$ Como cualquier número imaginario puro puede obtenerse multiplicando la unidad imaginaria por un número real, podemos expresar el par $ (0, 3) $ como el producto $ (0, 1) \cdot (3, 0) $. $$ (2, 3) = (2, 0) + [(0, 1) \cdot (3, 0)] $$ Sabemos que la unidad imaginaria se identifica con el par $ i = (0, 1) $. Al sustituirlo en la expresión anterior, obtenemos: $$ (2, 3) = (2, 0) + [i \cdot (3, 0)] $$ Por otra parte, los pares $ (2, 0) $ y $ (3, 0) $ representan, respectivamente, los números reales 2 y 3. Por tanto, podemos escribir $ (2, 0) = 2 $ y $ (3, 0) = 3 $. $$ (2, 3) = 2 + 3i $$ De este modo, obtenemos la forma binómica o algebraica del número complejo $ z = 2 + 3i $, cuya representación geométrica en el plano de Gauss es el punto (2, 3).

Este procedimiento puede aplicarse a cualquier número complejo. Basta con identificar su parte real y su parte imaginaria para determinar el punto que le corresponde en el plano de Gauss.