La unidad imaginaria en los números complejos

La unidad imaginaria es el número complejo (0,1), que se representa con la letra i: $$ i = (0,1) $$ Su característica fundamental es que, al elevarla al cuadrado, se obtiene el número real -1: $$ i^2 = -1 $$

La unidad imaginaria es un número imaginario puro y desempeña un papel esencial en la construcción del conjunto de los números complejos.

En el plano complejo, también conocido como plano de Argand-Gauss, la unidad imaginaria corresponde al punto de coordenadas (0,1), situado sobre el eje imaginario.

Nota: En matemáticas, la unidad imaginaria se representa habitualmente con la letra minúscula i. En ingeniería eléctrica, en cambio, suele utilizarse la letra minúscula j para evitar confusiones con el símbolo empleado para representar la corriente eléctrica. Aunque la notación sea distinta, ambas letras representan la misma unidad imaginaria: $$ i = j = (0,1) $$

¿Para qué sirve la unidad imaginaria?

La unidad imaginaria permite ampliar el conjunto de los números reales al de los números complejos. Gracias a ella, es posible resolver ecuaciones que no tienen solución en los números reales, como aquellas en las que aparece la raíz cuadrada de un número negativo.

Todo se basa en una propiedad fundamental:

$$ i^2 = (0,1)^2 = -1 $$

Demostración: Para calcular el cuadrado de la unidad imaginaria (0,1)², multiplicamos (0,1) por sí mismo: $$ (0,1)^2 = (0,1) \cdot (0,1) $$ Aplicamos la regla de multiplicación de números complejos: $$ (0,1)^2 = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) $$ $$ (0,1)^2 = (0 - 1, 0 + 0) $$ $$ (0,1)^2 = (-1, 0) $$ El par (-1,0) representa el número real -1. Por tanto, el cuadrado de la unidad imaginaria i = (0,1) es i² = -1.

Esta propiedad permite trabajar, dentro del conjunto de los números complejos, con raíces cuadradas de números reales negativos.

Un ejemplo práctico

Veamos qué ocurre cuando queremos determinar las raíces cuadradas del número real negativo -16. En el conjunto de los números reales, la siguiente ecuación no tiene solución:

$$ x^2 = -16 $$

Sin embargo, el problema sí puede resolverse en el conjunto de los números complejos.

En primer lugar, reescribimos -16 de forma equivalente:

$$ x^2 = -1 \cdot 16 $$

Sabemos que el cuadrado de la unidad imaginaria es -1 (i² = -1).

Por tanto, podemos sustituir -1 por i²:

$$ x^2 = i^2 \cdot 16 $$

De aquí obtenemos:

$$ x = \pm i \cdot \sqrt{16} $$

Ahora solo queda calcular la raíz cuadrada principal del número real positivo 16:

√16 = 4

Por tanto:

$$ x = \pm 4 \cdot i $$

$$ x = 0 \pm 4 \cdot i $$

Las dos raíces cuadradas de -16 son:

$$ x = \begin{cases} 0+4i \\ \\ 0-4i \end{cases} $$

Los números complejos conjugados 0+4i y 0-4i son, por tanto, las dos raíces cuadradas de -16.

Propiedades de la unidad imaginaria

La unidad imaginaria tiene algunas propiedades fundamentales que ayudan a comprender su papel dentro de los números complejos:

• Su cuadrado es igual al número real -1: $$ i^2 = (0,1)^2 = -1 $$
• El producto de la unidad imaginaria (0,1) por cualquier número real representado como número complejo en la forma (a,0) es un número imaginario puro de la forma (0,a): $$ (a,0) \cdot (0,1) = (0,a) $$

Demostración: Para comprobar esta propiedad, aplicamos la regla de multiplicación de números complejos: $$ (a,0) \cdot (0,1) = (a \cdot 0 - 0 \cdot 1, a \cdot 1 + 0 \cdot 0) $$ $$ (a,0) \cdot (0,1) = (0 - 0, a + 0) $$ $$ (a,0) \cdot (0,1) = (0, a) $$

Ejemplo

Consideremos el número real 7, que en forma de número complejo puede escribirse como z = (7,0). Lo multiplicamos por la unidad imaginaria i = (0,1):

$$ z \cdot i = (7,0) \cdot (0,1) $$ $$ z \cdot i = (7 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 7 \cdot 1 + 0 \cdot 0) $$ $$ z \cdot i = (0 - 0, 7 + 0) $$ $$ z \cdot i = (0, 7) $$

El resultado es el número imaginario puro 7i.

El mismo procedimiento puede aplicarse a cualquier número real representado como un número complejo de la forma (a,0). Al multiplicarlo por la unidad imaginaria i, se obtiene el número imaginario puro ai, que en forma de par ordenado se escribe (0,a).