Operaciones con números complejos
Los números complejos permiten realizar las mismas operaciones aritméticas fundamentales que los números reales: suma, resta, multiplicación y división. La diferencia es que, además de la parte real, debemos tener en cuenta la parte imaginaria y las propiedades de la unidad imaginaria \(i\).
Suma de números complejos
Dados dos números complejos \((x+iy)\) y \((x'+iy')\), su suma se obtiene sumando por separado las partes reales y las partes imaginarias: $$ (x+iy) + (x'+iy') = (x+x')+i(y+y') $$
La idea es muy sencilla: la parte real se suma con la parte real y la parte imaginaria con la parte imaginaria. De este modo, cada componente se trata de forma independiente.
Ejemplo
Consideremos los siguientes números complejos:
$$ 3+i2 $$ $$ 4+i7 $$
Vamos a sumarlos paso a paso:
$$ (3+i2) + (4+i7) = $$
$$ 3+i2 + 4+i7 = $$
$$ (3+4)+i(2+7) = $$
$$ = 7+i9 $$
Nota: También podemos interpretar los números complejos como pares ordenados en el plano complejo. En ese caso, basta con sumar las componentes correspondientes: $$ (3+i2) + (4+i7) = $$ $$ (3,2)+(4,7) $$ $$ (3+4,2+7) $$ $$ (7,9) $$ El par ordenado obtenido corresponde al número complejo $$ 7+i9 $$ Como vemos, el resultado es exactamente el mismo.
Resta de números complejos
Dados dos números complejos \((x+iy)\) y \((x'+iy')\), su diferencia se obtiene restando por separado las partes reales y las partes imaginarias: $$ (x+iy) - (x'+iy') = (x-x')+i(y-y') $$
El procedimiento es análogo al de la suma. Se resta la parte real del segundo número a la del primero y se hace lo mismo con las partes imaginarias.
Ejemplo
Consideremos los siguientes números complejos:
$$ 4+i7 $$ $$ 3+i2 $$
Vamos a restarlos paso a paso:
$$ (4+i7) - (3+i2) = $$
$$ 4+i7 -3-i2 = $$
$$ (4-3)+i(7-2) = $$
$$ = 1+i5 $$
Nota: Al igual que en la suma, podemos representar los números complejos mediante pares ordenados y restar directamente sus componentes correspondientes: $$ (4+i7) - (3+i2) = $$ $$ (4,7)-(3,2) $$ $$ (4-3,7-2) $$ $$ (1,5) $$ El par ordenado obtenido corresponde al número complejo $$ 1+i5 $$ Por tanto, ambos procedimientos conducen al mismo resultado.
Multiplicación de números complejos
El producto de dos números complejos expresados en forma binómica se obtiene mediante la siguiente fórmula: $$ (x+iy) \cdot (x'+iy') = (xx'-yy')+i(xy'+x'y) $$
En la multiplicación aparece una diferencia importante con respecto a la suma y la resta. Aquí debemos tener en cuenta las propiedades de la unidad imaginaria \(i\), definida por \( i = \sqrt{-1} \), y especialmente la relación fundamental \( i^2 = -1 \).
Nota: Cuando los números complejos están expresados en forma trigonométrica, el cálculo resulta especialmente sencillo: se multiplican los módulos y se suman los argumentos. $$ z \cdot z' = (d \cdot d') \cdot [ \cos(a+a') + i \cdot \sin(a+a') ] $$ En forma exponencial, esta misma propiedad permite escribir el producto como: $$ z \cdot z' = ( d \cdot e^{ia } ) \cdot ( d' \cdot e^{ia'} ) = ( d \cdot d' ) \cdot e^{i(a+a')} $$
Ejemplo
Consideremos los siguientes números complejos:
$$ 4+i7 $$ $$ 3+i2 $$
Vamos a multiplicarlos paso a paso:
$$ (4+i7) \cdot (3+i2) = $$
Aplicamos la fórmula del producto:
$$ (x+iy) \cdot (x'+iy') = (xx'-yy')+i(xy'+x'y) = $$
$$ (4+i7) \cdot (3+i2) = ((4 \cdot 3)-(7 \cdot 2))+i((4 \cdot 2)+(3 \cdot 7)) = $$
$$ (12-14)+i(8+21) = $$
$$ = -2+i29 $$
Nota: No es imprescindible memorizar la fórmula del producto. Podemos llegar al mismo resultado desarrollando la expresión mediante la propiedad distributiva y utilizando \( i^2 = -1 \): $$ (4+i7) \cdot (3+i2) = $$ $$ (4 \cdot 3 ) + (4 \cdot i2) + (i7 \cdot 3 ) + (i7 \cdot i2) $$ $$ 12 + i8 + i21 + i^2 14 = $$ $$ 12 + i8 + i21 + (-1) \cdot 14 = $$ $$ (12-14) + i (8+21) = $$ $$ = -2 + i \cdot 29 $$ Como vemos, ambos procedimientos conducen al mismo resultado.
División de números complejos
Dados dos números complejos \( x+iy \) y \( x'+iy' \), con \(x'+iy' \neq 0\), su cociente viene dado por la siguiente expresión: $$ \frac{x+iy}{x'+iy'} = \frac{xx'+yy'}{x'^2+y'^2}+i \cdot \frac{x'y-xy'}{x'^2+y'^2} $$ Esta fórmula se obtiene multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: $$ \frac{x+iy}{x'+iy'} = \frac{x+iy}{x'+iy'} \cdot \frac{x'-iy'}{x'-iy'} $$
La idea consiste en eliminar la unidad imaginaria del denominador. Al multiplicar por su conjugado, el denominador se transforma en un número real, lo que permite simplificar el cociente y expresarlo nuevamente en forma binómica.
Cuando los números complejos están expresados en forma trigonométrica, el procedimiento es más directo: se dividen los módulos y se restan los argumentos.
$$ \frac{z}{z'} = \frac{d}{d'} \cdot [ \cos (a-a') + i \cdot \sin (a-a') ] $$
En forma exponencial, esta misma propiedad se expresa como:
$$ \frac{z}{z'} = \frac{d \cdot e^{ia }}{d' \cdot e^{ia'}} = \left( \frac{d}{d'} \right) \cdot e^{i(a-a')} $$
Ejemplo
Vamos a dividir los siguientes números complejos:
$$ 3+i2 $$ $$ 4+i7 $$
Aplicamos la fórmula del cociente:
$$ \frac{ xx'+yy' }{ x'^2 + y'^2 } + i \cdot \frac{x'y-xy'}{x'^2 + y'^2} = $$
$$ \frac{ (3 \cdot 4)+ (2 \cdot 7) }{ 4^2 + 7^2 } + i \cdot \frac{(4 \cdot 2) - (3 \cdot 7) }{4^2 + 7^2} = $$
$$ \frac{ 12+14 }{ 16 + 49 } + i \cdot \frac{8 - 21 }{16 + 49} = $$
$$ = \frac{26 }{ 65 } + i \cdot \frac{-13 }{65} $$
$$ = \frac{26 }{ 65 } - i \cdot \frac{13 }{65} $$
Nota: También podemos resolver la división directamente mediante el conjugado del denominador. Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por \(4-i7\) y utilizamos la propiedad \( i^2=-1 \): $$ \frac{3+i2}{4+i7} = $$ Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: $$ \frac{3+i2}{4+i7} \cdot \frac{4-i7}{4-i7} = $$ Desarrollamos los productos: $$ \frac{(3+i2) \cdot (4-i7) }{(4+i7) \cdot (4-i7) } = $$ $$ \frac{12-i21+i8-i^214 }{ 16-i28+i28-i^249 } = $$ Como \( i^2=-1 \), simplificamos: $$ \frac{12-i21+i8-(-1) \cdot 14 }{ 16-i28+i28-(-1) \cdot 49 } = $$ $$ \frac{12-i21+i8 +14 }{ 16+49} = $$ $$ \frac{(12+14)+i(8-21) }{ 16+49} = $$ $$ \frac{26+i(-13) }{65} = $$ $$ = \frac{26 }{ 65 } - i \cdot \frac{13 }{65} $$ De este modo, obtenemos exactamente el mismo resultado.
Potencias de números complejos
La potencia de un número complejo \( z=x+yi \) puede calcularse desarrollando la potencia del binomio y teniendo en cuenta la propiedad fundamental \( i^2=-1 \): $$ z^n = (x+yi)^n $$
Este procedimiento es útil cuando trabajamos en forma binómica. Sin embargo, para exponentes elevados resulta mucho más práctico expresar el número complejo en forma trigonométrica y aplicar la fórmula de De Moivre:
$$ z^n = d^n \cdot ( \cos (n \cdot a) + i \cdot \sin (n \cdot a) ) $$
La idea es sencilla: se eleva el módulo \(d\) a la potencia \(n\) y se multiplica el argumento \(a\) por \(n\).
En forma exponencial, esta misma propiedad se escribe de manera aún más compacta:
$$ z^n = d^n \cdot e^{ia \cdot n } $$
Ejemplo
Calculemos el cuadrado del número complejo \( z=1+3i \):
$$ z^2 = (1+3i)^2 $$
Desarrollamos el cuadrado del binomio:
$$ z^2 = 1^2+2 \cdot 3i + (3i)^2 $$
$$ z^2 = 1+6i + 9i^2 $$
Como \( i^2=-1 \), sustituimos:
$$ z^2 = 1+6i + 9 \cdot (-1) $$
$$ z^2 = 1+6i -9 $$
$$ z^2 = -8+6i $$
Por tanto, el cuadrado del número complejo es \( z^2=(1+3i)^2=-8+6i \).
Nota: También podemos obtener el resultado a partir de la forma trigonométrica del número complejo: $$ z = \sqrt{10} \cdot ( \cos 71.57^\circ + i \cdot \sin 71.57^\circ ) $$ Aplicamos la fórmula de De Moivre para \( n=2 \): $$ z^n = d^n \cdot ( \cos (n \cdot a) + i \cdot \sin (n \cdot a) ) $$ $$ z^2 = ( \sqrt{10} )^2 \cdot ( \cos (2 \cdot 71.57^\circ) + i \cdot \sin (2 \cdot 71.57^\circ) ) $$ $$ z^2 = 10 \cdot ( \cos (143.14^\circ) + i \cdot \sin (143.14^\circ) ) $$ $$ z^2 = -8 + i 6 $$ El resultado coincide con el obtenido mediante el desarrollo del binomio.
Cuadrado de un número complejo
Si representamos un número complejo mediante el par ordenado \((x,y)\), su cuadrado puede calcularse directamente con la fórmula: $$ (x,y)^2 = (x^2-y^2,2xy) $$
Esta expresión se obtiene al desarrollar \((x+yi)^2\). La primera componente representa la parte real del resultado y la segunda, el coeficiente de su parte imaginaria.
Ejemplo
Calculemos el cuadrado del siguiente número complejo:
$$ z = (2,3) $$
Aplicamos la fórmula:
$$ z^2 = (x,y)^2 = (x^2-y^2,2xy) $$
Sustituimos \( x=2 \) e \( y=3 \):
$$ (2,3)^2 = (2^2-3^2,2 \cdot 2 \cdot 3) $$
$$ (2,3)^2 = (4-9,12) $$
$$ (2,3)^2 = (-5,12) $$
Por tanto, el cuadrado del número complejo corresponde al par ordenado \( (-5,12) \).
En forma binómica:
$$ z^2 = -5 + 12 i $$
Comprobación: Podemos verificar fácilmente el resultado calculando el cuadrado directamente en forma binómica. Puesto que \( z=(2,3)=2+3i \): $$ z^2 = (2+3i)^2 $$ $$ z^2 = 2^2+2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 $$ $$ z^2 = 4+12i + 9i^2 $$ Como \( i^2=-1 \), sustituimos: $$ z^2 = 4+12i + 9 \cdot (-1) $$ $$ z^2 = 4+12i -9 $$ $$ z^2 = -5+12i $$ Llegamos así al mismo resultado.
Cubo de un número complejo
Para calcular el cubo de un número complejo expresado en forma binómica, podemos desarrollar el cubo del binomio: $$ z^3=(a+bi)^3=a^3+3a^2(bi)+3a(bi)^2+(bi)^3 $$ teniendo siempre en cuenta que \( i^2=-1 \).
Una vez desarrollado el binomio, basta con simplificar las potencias de \(i\) y agrupar por separado los términos reales y los imaginarios.
Ejemplo
Calculemos el cubo del número complejo \( z=2+3i \):
$$ z^3 = (2+3i)^3 $$
Desarrollamos el cubo del binomio:
$$ z^3 = 2^3+3 \cdot 2^2 \cdot 3i + 3 \cdot 2 \cdot (3i)^2 + (3i)^3 $$
$$ z^3 = 8+36i + 54 i^2 + 27i^3 $$
Como \( i^2=-1 \):
$$ z^3 = 8+36i + 54 \cdot (-1) + 27i^3 $$
$$ z^3 = 8+36i - 54 + 27i^3 $$
$$ z^3 = -46+36i + 27i^3 $$
Además, como \( i^3=i^2 \cdot i \) y \( i^2=-1 \):
$$ z^3 = -46+36i + 27 \cdot (-1) \cdot i $$
$$ z^3 = -46+36i - 27 i $$
$$ z^3 = -46+9i $$
Por tanto, el cubo del número complejo es \( z^3=-46+9i \).
Raíces de un número complejo
Para calcular las raíces \(n\)-ésimas de un número complejo, primero lo expresamos en forma trigonométrica: $$ z = d \cdot [ \cos a + i \cdot \sin a ] $$ A continuación, aplicamos la fórmula: $$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{d} \cdot \left[ \cos \frac{(a+2\pi k)}{n} + i \cdot \sin \frac{(a+2\pi k) }{n} \right] $$ donde \( k=0,1,\ldots,n-1 \). Si \(z \neq 0\), obtenemos así las \(n\) raíces \(n\)-ésimas distintas del número complejo.
La presencia del término \(2\pi k\) es fundamental. Un número complejo no nulo posee \(n\) raíces \(n\)-ésimas distintas, distribuidas uniformemente sobre una circunferencia del plano complejo. Todas tienen módulo \(\sqrt[n]{d}\), mientras que sus argumentos difieren entre sí en \(\frac{2\pi}{n}\).
En forma trigonométrica, las raíces \(n\)-ésimas vienen dadas por:
$$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{d} \cdot \left[ \cos \frac{(a+2\pi k)}{n} + i \cdot \sin \frac{(a+2\pi k) }{n} \right] $$
En forma exponencial, la misma expresión puede escribirse de manera más compacta:
$$ \sqrt[n]{z} = d^{\frac{1}{n}} \cdot e^{i \cdot \frac{(a+2\pi k)}{n}} $$
Ejemplo
Consideremos el número complejo:
$$ z = -8 + i 6 $$
Su módulo es \(10\) y su argumento es aproximadamente \(143.14^\circ\). Por tanto, su forma trigonométrica es:
$$ z = 10 \cdot ( \cos (143.14^\circ) + i \cdot \sin (143.14^\circ) ) $$
Expresando el argumento en radianes:
$$ z = 10 \cdot ( \cos (2.49 \text{ rad}) + i \cdot \sin (2.49 \text{ rad}) ) $$
Calculemos ahora sus raíces cuadradas (\( n=2 \)). Como \(z\) es distinto de cero, existen dos raíces distintas, correspondientes a \(k=0\) y \(k=1\).
Para \( k=0 \):
$$ \sqrt[2]{z} = \sqrt[2]{10} \cdot \left[ \cos \frac{2.49}{2} + i \cdot \sin \frac{ 2.49 }{2} \right] $$
$$ = 1 + 3 i $$
Para \( k=1 \):
$$ \sqrt[2]{z} = \sqrt[2]{10} \cdot \left[ \cos \frac{ (2.49+2\pi)}{2} + i \cdot \sin \frac{ (2.49+2\pi) }{2} \right] $$
$$ = - 1 - 3 i $$
Las dos raíces son, por tanto, \(1+3i\) y \(-1-3i\), que son números opuestos, como ocurre siempre con las dos raíces cuadradas de un número complejo no nulo.
Inverso multiplicativo de un número complejo
El inverso multiplicativo de un número complejo \( z_1 \) es el número complejo \( z_2 \) que, al multiplicarse por \(z_1\), da como resultado la unidad: $$ z_1 \cdot z_2 = 1 $$
Todo número complejo distinto de cero tiene un único inverso multiplicativo. Si \( z_1 \neq 0 \), se calcula mediante:
$$ z_2 = \frac{1}{z_1} = \frac{\overline{z_1}}{|z_1|^2} $$
donde \( \overline{z_1} \) es el conjugado de \( z_1 \) y \( |z_1|^2 \) es el cuadrado de su módulo. Esta expresión se basa en la identidad \( z_1 \cdot \overline{z_1}=|z_1|^2 \), cuyo resultado es siempre un número real no negativo.
Por ejemplo, si \( z_1 = a + bi \), con \( a, b \in \mathbb{R} \) y \(z_1 \neq 0\), multiplicamos por el conjugado para obtener su inverso multiplicativo: $$ z_2 = \frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)} = \frac{a-bi}{a^2+b^2} $$ Por tanto: $$ z_2 = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} $$
