Multiplicación de números complejos

El producto de dos números complejos, \( z_1 = (a, b) \) y \( z_2 = (c, d) \), se calcula mediante la siguiente fórmula: $$ (a,b) \cdot (c,d) = (a \cdot c - b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c ) $$

La forma de multiplicar dos números complejos depende de cómo estén expresados. Si se escriben en forma binómica, \( z_1 = a + bi \) y \( z_2 = c + di \), el producto puede desarrollarse aplicando las reglas habituales del álgebra: $$ (a+bi) \cdot (c+di) = a \cdot (c+di) + bi \cdot (c+di) $$ Si los números están expresados en forma trigonométrica: $$ z_1 = m_1 \cdot [\cos(\gamma_1) + i \cdot \sin(\gamma_1)] $$ $$ z_2 = m_2 \cdot [\cos(\gamma_2) + i \cdot \sin(\gamma_2)] $$ el procedimiento es especialmente sencillo: se multiplican los módulos y se suman los argumentos. $$ z_1 \cdot z_2 = (m_1 \cdot m_2) \cdot [ \cos(\gamma_1 + \gamma_2) + i \cdot \sin(\gamma_1 + \gamma_2) ] $$ Del mismo modo, si se utiliza la forma exponencial: $$ z_1 = m_1 \cdot e^{i\gamma_1}, \quad z_2 = m_2 \cdot e^{i\gamma_2} $$ el producto viene dado por: $$ z_1 \cdot z_2 = (m_1 \cdot m_2) \cdot e^{i(\gamma_1+\gamma_2)} $$

Cómo se multiplican dos números complejos

Para entender de dónde procede la fórmula del producto, consideremos dos números complejos escritos en forma binómica. La multiplicación se realiza igual que el producto de dos binomios, pero teniendo en cuenta una propiedad fundamental de la unidad imaginaria: \( i^2 = -1 \).

$$ (a+bi) \cdot (c+di) $$

Desarrollamos el producto aplicando la propiedad distributiva:

$$ (a+bi) \cdot (c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 $$

Como \( i^2 = -1 \), sustituimos este valor en la expresión:

$$ = ac + adi + bci - bd $$

A continuación, agrupamos por separado la parte real y la parte imaginaria:

$$ = (ac - bd) + i(ad + bc) $$

De este modo obtenemos directamente la fórmula general del producto de dos números complejos. La parte real del resultado es \( ac-bd \), mientras que su parte imaginaria es \( ad+bc \).

Ejemplo práctico

Veamos el procedimiento con dos números complejos concretos:

$$ z_1 = (3,4) $$ $$ z_2 = (2,1) $$

En el plano complejo se representan de la siguiente manera:

Aplicamos la fórmula del producto \( (a,b)(c,d) = (ac - bd, ad + bc) \):

$$ z_1 \cdot z_2 = (3,4) \cdot (2,1) = (3 \cdot 2 - 4 \cdot 1, 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2) = (2,11) $$

Por tanto, el producto de los dos números complejos es \( (2,11) \).

Ejemplo 2

Podemos comprobar el mismo resultado escribiendo los números complejos en forma binómica:

$$ z_1 = 3+4i $$ $$ z_2 = 2+i $$

Multiplicamos ambos números aplicando las reglas habituales del álgebra:

$$ z_1 \cdot z_2 = (3+4i) \cdot (2+i) $$

Desarrollamos el producto paso a paso:

$$ = 3 \cdot (2+i) + 4i \cdot (2+i) $$

$$ = 6 + 3i + 8i + 4i^2 $$

$$ = 6 + 11i + 4i^2 $$

Como \( i^2 = -1 \), sustituimos:

$$ = 6 + 11i + 4(-1) $$

$$ = 6 + 11i - 4 $$

$$ = 2 + 11i $$

Llegamos así al mismo resultado obtenido anteriormente: \( 2 + 11i = (2,11) \).

Ejemplo 3

Veamos ahora qué ocurre cuando los mismos números se expresan en forma trigonométrica:

$$ z_1 = 5 \cdot ( \cos 53.13^\circ + i \cdot \sin 53.13^\circ ) $$

$$ z_2 = 2.24 \cdot ( \cos 26.57^\circ + i \cdot \sin 26.57^\circ ) $$

En esta forma, la multiplicación resulta especialmente directa: se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

$$ z_1 \cdot z_2 = 5 \cdot ( \cos 53.13^\circ + i \cdot \sin 53.13^\circ ) \cdot 2.24 \cdot ( \cos 26.57^\circ + i \cdot \sin 26.57^\circ ) $$

Por tanto:

$$ z_1 \cdot z_2 = 5 \cdot 2.24 \cdot [ \cos (53.13^\circ + 26.57^\circ) + i \cdot \sin (53.13^\circ + 26.57^\circ) ] $$

$$ z_1 \cdot z_2 = 11.02 \cdot [ \cos 79.7^\circ + i \cdot \sin 79.7^\circ ] $$

Ejemplo 4

Por último, expresamos los mismos números complejos en forma exponencial:

$$ z_1 = 5 \cdot e^{i \cdot 53.13^\circ} $$

$$ z_2 = 2.24 \cdot e^{i \cdot 26.57^\circ} $$

En este caso, multiplicamos los módulos y aplicamos la propiedad del producto de potencias de la misma base:

$$ z_1 \cdot z_2 = 5 \cdot e^{i \cdot 53.13^\circ} \cdot 2.24 \cdot e^{i \cdot 26.57^\circ} $$

Los exponentes se suman:

$$ z_1 \cdot z_2 = 11.02 \cdot e^{i \cdot (53.13^\circ + 26.57^\circ)} $$

$$ z_1 \cdot z_2 = 11.02 \cdot e^{i \cdot 79.7^\circ} $$

Los ejemplos muestran que, independientemente de la forma utilizada para representar los números complejos, el producto describe el mismo número complejo. Lo que cambia es únicamente el procedimiento empleado para calcularlo.

Propiedades de la multiplicación de números complejos

La multiplicación de números complejos conserva las propiedades algebraicas fundamentales de la multiplicación de números reales.

• Propiedad conmutativa
  El orden de los factores no altera el producto: $$ z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 $$

  Ejemplo: Consideremos los números complejos \( z_1 = 1 + 2i \) y \( z_2 = 3 + i \). $$ z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i) \cdot (3 + i) $$ $$ z_1 \cdot z_2 = 1 + 7i $$ Si invertimos el orden de los factores: $$ z_2 \cdot z_1 = (3 + i) \cdot (1 + 2i) $$ $$ z_2 \cdot z_1 = 1 + 7i $$ Como obtenemos el mismo resultado en ambos casos, queda verificada la propiedad conmutativa.

• Propiedad asociativa
  Dados tres números complejos cualesquiera \( z_1 \), \( z_2 \) y \( z_3 \), la forma de agrupar los factores no altera el producto: $$ (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) $$ Por tanto, podemos agrupar los factores de distintas maneras sin modificar el resultado.

  Ejemplo: Consideremos tres números complejos: \( z_1 = 1 + 2i \), \( z_2 = 3 + i \) y \( z_3 = 2 - i \). Calculamos primero: $$ (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = [(1 + 2i) \cdot (3 + i)] \cdot (2 - i) $$ $$ (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = (1 + 7i) \cdot (2 - i) $$ $$ (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = 9 + 13i $$ Ahora cambiamos la agrupación: $$ z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (1 + 2i) \cdot [(3 + i) \cdot (2 - i)] $$ $$ z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (1 + 2i) \cdot (7 - i) $$ $$ z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = 9 + 13i $$ Como obtenemos el mismo resultado, queda verificada la propiedad asociativa.

• Propiedad distributiva respecto de la suma
  El producto de un número complejo \( z_1 \) por una suma \( z_2 + z_3 \) es igual a la suma de los productos de \( z_1 \) por cada uno de los sumandos: $$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 $$

  Ejemplo: Consideremos tres números complejos: \( z_1 = 1 + 2i \), \( z_2 = 3 + i \) y \( z_3 = 2 - i \). Calculamos primero \( z_1 (z_2 + z_3) \): $$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = (1 + 2i) \cdot [(3 + i) + (2 - i)] $$ $$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = (1 + 2i) \cdot 5 $$ $$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = 5 + 10i $$ Calculamos ahora \( z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 \): $$ z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 = (1 + 2i) \cdot (3 + i) + (1 + 2i) \cdot (2 - i) $$ $$ = (1 + 7i) + (4 + 3i) $$ $$ = 5 + 10i $$ Como ambos resultados coinciden, queda verificada la propiedad distributiva.

• Elemento neutro multiplicativo
  El elemento neutro de la multiplicación en \( \mathbb{C} \) es \( 1 = (1,0) \). Esto significa que, al multiplicar cualquier número complejo por \( 1 \), su valor no cambia.

  Ejemplo: Multiplicamos \( z_1 = 1 + 2i \) por \( z_2 = 1 + 0i \): $$ z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i) \cdot (1 + 0i) $$ $$ z_1 \cdot z_2 = 1 + 2i $$ El resultado coincide con \( z_1 \), lo que confirma que \( 1 \) es el elemento neutro de la multiplicación.

• Producto por cero
  El cero es el elemento absorbente de la multiplicación. Por tanto, el producto de cualquier número complejo por \( 0 = (0,0) \) es siempre igual a \( (0,0) \).

  Ejemplo: Multiplicamos \( z_1 = 1 + 2i \) por \( z_2 = 0 + 0i \): $$ z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i) \cdot (0 + 0i) $$ $$ z_1 \cdot z_2 = 0 $$ Así se verifica que el cero es el elemento absorbente de la multiplicación.

• Producto de números complejos con parte imaginaria nula
  Los números reales pueden considerarse números complejos cuya parte imaginaria es igual a cero. Por eso, cuando multiplicamos dos números de la forma \( (a,0) \) y \( (b,0) \), obtenemos simplemente el producto de los números reales correspondientes: $$ (a, 0) \cdot (b, 0) = (ab, 0) $$

  Ejemplo: Consideremos \( z_1 = (3,0) \) y \( z_2 = (4,0) \). Calculamos su producto: $$ (3,0) \cdot (4,0) = (3 \cdot 4, 0) = (12,0) $$ Esto confirma que, al identificar los números reales con los números complejos cuya parte imaginaria es nula, su producto coincide con el producto usual en \( \mathbb{R} \).

Demostraciones

Las propiedades fundamentales de la multiplicación de números complejos pueden demostrarse directamente a partir de su forma binómica. Veamos paso a paso las demostraciones de las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.

A] Propiedad conmutativa de la multiplicación

La propiedad conmutativa establece que el orden de los factores no altera el producto. Por tanto, debemos demostrar que:

$$ z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 $$

Sean \( z_1 = a + bi \) y \( z_2 = c + di \), con \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \). Calculamos el producto en los dos órdenes posibles:

• En primer lugar, calculamos \( z_1 \cdot z_2 \): $$ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) $$ Desarrollamos el producto aplicando la propiedad distributiva: $$ = ac + adi + bci + bdi^2 $$ Como \( i^2 = -1 \), obtenemos: $$ = ac - bd + (ad + bc)i $$
• A continuación, calculamos \( z_2 \cdot z_1 \): $$ z_2 \cdot z_1 = (c + di)(a + bi) $$ Desarrollamos de nuevo el producto: $$ = ca + cbi + dai + dbi^2 $$ Como \( i^2 = -1 \), obtenemos: $$ = ca - db + (cb + ad)i $$

Como la suma y la multiplicación de números reales son conmutativas, se cumple que \( ac = ca \), \( bd = db \) y \( ad + bc = cb + ad \). Por tanto, las dos expresiones son iguales:

$$ ac - bd + (ad + bc)i = ca - db + (cb + ad)i $$

En consecuencia:

$$ z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 $$

Queda demostrada así la propiedad conmutativa de la multiplicación de números complejos.

B] Propiedad asociativa de la multiplicación

La propiedad asociativa indica que, al multiplicar tres números complejos, la forma de agrupar los factores no modifica el resultado. Debemos demostrar que, para cualesquiera \( z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} \):

$$ (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) $$

Sean \( z_1 = a + bi \), \( z_2 = c + di \) y \( z_3 = e + fi \), con \( a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R} \). Para comprobar la igualdad, calculamos por separado sus dos miembros.

• Comenzamos con \( (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 \). Calculamos primero \( z_1 \cdot z_2 \): $$ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i $$ A continuación, multiplicamos el resultado por \( z_3 \): $$ (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = [ac - bd + (ad + bc)i] \cdot (e + fi) $$ Desarrollamos el producto: $$ = (ac - bd)e + (ac - bd)fi + (ad + bc)ei + (ad + bc)fi^2 $$ Como \( i^2 = -1 \), obtenemos: $$ = ace - bde - (ad + bc)f + [(ac - bd)f + (ad + bc)e]i $$ $$ = ace - bde - adf - bcf + [(ac - bd)f + (ad + bc)e]i $$
• Calculamos ahora \( z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) \). Empezamos hallando \( z_2 \cdot z_3 \): $$ z_2 \cdot z_3 = (c + di)(e + fi) = ce - df + (cf + de)i $$ A continuación, multiplicamos el resultado por \( z_1 \): $$ z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (a + bi) \cdot [ce - df + (cf + de)i] $$ Desarrollamos el producto: $$ = a(ce-df) + a(cf+de)i + bi(ce-df) + bi(cf+de)i $$ Como \( i^2 = -1 \), obtenemos: $$ = a(ce-df) - b(cf+de) + [a(cf+de) + b(ce-df)]i $$ $$ = ace - adf - bcf - bde + [acf + ade + bce - bdf]i $$

Para comparar los dos resultados con mayor claridad, desarrollamos también la parte imaginaria obtenida en el primer cálculo:

$$ [(ac - bd)f + (ad + bc)e]i = [acf - bdf + ade + bce]i $$

Los dos procedimientos conducen, por tanto, al mismo número complejo. En consecuencia:

$$ (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) $$

Queda demostrada así la propiedad asociativa de la multiplicación de números complejos.

C] Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

La propiedad distributiva establece que multiplicar un número complejo por una suma equivale a multiplicarlo por cada uno de los sumandos y sumar después los resultados. Debemos demostrar que, para cualesquiera \( z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} \):

$$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 $$

Sean \( z_1 = a + bi \), \( z_2 = c + di \) y \( z_3 = e + fi \), con \( a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R} \). Calculamos por separado los dos miembros de la igualdad:

• Comenzamos con \( z_1 \cdot (z_2 + z_3) \). Primero sumamos \( z_2 \) y \( z_3 \): $$ z_2 + z_3 = (c + di) + (e + fi) = (c + e) + (d + f)i $$ A continuación, multiplicamos el resultado por \( z_1 \): $$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = (a + bi) \cdot [(c + e) + (d + f)i] $$ Desarrollamos el producto: $$ = a(c + e) + a(d + f)i + bi(c + e) + bi(d + f)i $$ Como \( i^2 = -1 \), obtenemos: $$ = [a(c + e) - b(d + f)] + [a(d + f) + b(c + e)]i $$ $$ = [ac + ae - bd - bf] + [ad + af + bc + be]i $$
• Calculamos ahora \( z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 \): $$ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i $$ $$ z_1 \cdot z_3 = (a + bi)(e + fi) = ae - bf + (af + be)i $$ Sumamos los dos productos: $$ z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 = [ac - bd + ae - bf] + [ad + bc + af + be]i $$ $$ = [ac + ae - bd - bf] + [ad + af + bc + be]i $$

Como ambos cálculos conducen exactamente al mismo número complejo, podemos concluir que:

$$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 $$

Queda demostrada así la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

Observaciones adicionales

La multiplicación de números complejos permite establecer otras relaciones especialmente útiles. Una de las más importantes vincula un número complejo con su conjugado y su módulo.

• Producto de un número complejo por su conjugado
  Sea \( z = a + bi \) un número complejo. Su conjugado es \( \overline{z} = a - bi \). Al multiplicar un número complejo por su conjugado, las partes imaginarias se cancelan y el resultado es siempre un número real no negativo: $$ z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 $$ Por otra parte, el módulo de \( z \) viene dado por: $$ |z| = \sqrt{a^2+b^2} $$ De estas expresiones se obtiene una relación fundamental: $$ z \cdot \overline{z} = |z|^2 = a^2+b^2 $$

  Ejemplo: Consideremos el número complejo \( z = 3 + 4i \). Su conjugado es \( \overline{z} = 3 - 4i \). Calculamos el producto: $$ z \cdot \overline{z} = (3 + 4i)(3 - 4i) $$ Aplicamos la identidad del producto de una suma por una diferencia: $$ z \cdot \overline{z} = 3^2 - (4i)^2 $$ Como \( i^2 = -1 \), obtenemos: $$ z \cdot \overline{z} = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25 $$ Por tanto: $$ z \cdot \overline{z} = 25 $$ Podemos comprobar el mismo resultado a partir del módulo de \( z \): $$ |z| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $$ y, por consiguiente: $$ |z|^2 = 5^2 = 25 $$ Se verifica así que \( z \cdot \overline{z} = |z|^2 \).