Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es un número real mayor o igual que cero que se calcula mediante la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de su parte real y su parte imaginaria. Se representa entre dos barras verticales: $$ |z| = |a+bi| = \sqrt{a^2+b^2} $$ Geométricamente, el módulo indica la distancia entre el origen del plano complejo y el punto $(a, b)$ que representa al número.
Representación geométrica del módulo de un número complejo

En esta fórmula, $a$ y $b$ son números reales que definen el número complejo $z = a + bi$, donde $i$ es la unidad imaginaria y cumple la propiedad $i^2=-1$.

El número $a$ es la parte real, $Re(z) = a$, mientras que $b$ es la parte imaginaria, $Im(z) = b$. El producto $bi$ recibe el nombre de término imaginario.

Nota: Al representar los números complejos mediante vectores, podemos utilizar la trigonometría y el cálculo vectorial para estudiar sus propiedades. Por ejemplo, si conocemos el módulo y el ángulo que forma el vector con el semieje real positivo, denominado argumento, podemos expresar el número complejo en forma trigonométrica o polar.

Interpretación geométrica del módulo
Ejemplo práctico

Interpretación geométrica del módulo

Para comprender qué representa el módulo, primero considero que cualquier número complejo puede identificarse con un par ordenado de números reales:

$$ z = (a, b) $$

Esto permite representar el número complejo como un punto del plano complejo, también conocido como plano de Gauss.

Representación de un número complejo en el plano de Gauss

La correspondencia es directa: cada punto del plano representa un único número complejo y cada número complejo determina un único punto.

Nota: En el plano de Gauss, el eje horizontal se llama eje real y representa los valores de la parte real ($Re$). El eje vertical se denomina eje imaginario y representa los valores de la parte imaginaria ($Im$).

El módulo de un número complejo es la longitud del vector que parte del origen de coordenadas y llega al punto $(a, b)$.

Módulo de un número complejo representado como la longitud de un vector

¿Cómo puedo calcular esa longitud? Si proyecto perpendicularmente el punto sobre el eje real, obtengo un triángulo rectángulo, siempre que las dos componentes sean distintas de cero.

Triángulo rectángulo utilizado para calcular el módulo de un número complejo

Los catetos de este triángulo, $OB$ y $AB$, corresponden a las componentes real ($a$) e imaginaria ($b$) del número complejo $(a, b)$, respectivamente. Como las longitudes no pueden ser negativas, utilizo los valores absolutos de ambas componentes:

$$ \overline{OB} = |Re(z)| = |a| $$

$$ \overline{AB} = |Im(z)| = |b| $$

La hipotenusa $OA$ representa la distancia desde el origen hasta el punto $(a, b)$. Por tanto, su longitud coincide con el módulo del número complejo:

$$ \overline{OA} = |z| $$

Para calcularla, aplico el teorema de Pitágoras, según el cual el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

$$ |z|^2 = \overline{OA}^2 = \overline{OB}^2 + \overline{AB}^2 $$

Ahora extraigo la raíz cuadrada de ambos miembros:

$$ \sqrt{\overline{OA}^2} = \sqrt{\overline{OB}^2 + \overline{AB}^2} $$

Como las longitudes son siempre mayores o iguales que cero, puedo simplificar la expresión:

$$ |z| = \overline{OA} = \sqrt{\overline{OB}^2 + \overline{AB}^2} $$

Por último, sustituyo las longitudes de los catetos por sus valores. Como $\overline{OB} = |Re(z)| = |a|$ y $\overline{AB} = |Im(z)| = |b|$, obtengo:

$$ |z| = \sqrt{\overline{OB}^2 + \overline{AB}^2} = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Esta es la fórmula general del módulo de un número complejo. Puedo utilizarla con cualquier número complejo $(a, b)$, incluso cuando una de sus componentes es cero.

Fórmula del módulo de un número complejo obtenida mediante el teorema de Pitágoras

En definitiva, el módulo de un número complejo es la longitud del vector que une el origen con el punto $(a, b)$ del plano complejo.

Esta interpretación geométrica también explica por qué el módulo nunca puede ser negativo: representa una distancia.

En geometría, las distancias y las longitudes siempre son mayores o iguales que cero.

Nota: El número complejo $(0, 0)$, equivalente a $z=0$, es el único cuyo módulo es cero. Esto se debe a que su representación corresponde al vector nulo, cuya longitud es cero. Todos los demás números complejos tienen un módulo positivo.

Ejemplo práctico

Voy a calcular el módulo del siguiente número complejo:

$$ z = (a, b) = (3, 4) $$

En este caso, identifico sus dos componentes: la parte real es $a = 3$ y la parte imaginaria es $b = 4$.

También puedo escribir el número complejo en forma binómica o cartesiana:

$$ z = a + bi = 3 + 4i $$

Para hallar su módulo, sustituyo los valores de $a$ y $b$ en la fórmula y realizo las operaciones paso a paso:

$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} $$ $$ |z| = \sqrt{9 + 16} $$ $$ |z| = \sqrt{25} $$ $$ |z| = 5 $$

El resultado es $|z|=5$. Por tanto, el módulo del número complejo $z=3+4i$ es 5.

¿Qué significa este resultado en el plano complejo? Significa que la distancia entre el origen de coordenadas y el punto $(3, 4)$ es igual a 5. Esa es precisamente la longitud del vector que representa al número complejo.

Ejemplo geométrico del módulo del número complejo 3 + 4i, cuyo valor es 5

Puedo seguir el mismo procedimiento para calcular el módulo de cualquier otro número complejo, independientemente de los signos de sus componentes.