Suma de números complejos

Para sumar dos números complejos, solo tengo que sumar por separado sus partes reales y sus partes imaginarias. Si los números están escritos en forma binómica, aplico la siguiente fórmula: $$ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i $$

En otras palabras, para obtener la suma de dos números complejos, realizo dos operaciones:

• Sumo las partes reales de ambos números: \( a + c \).
• Sumo las partes imaginarias de ambos números: \( (b + d)i \).

El resultado es otro número complejo cuya parte real es la suma de las componentes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las componentes imaginarias.

Ejemplo de suma de números complejos

Voy a calcular la suma de estos dos números complejos:

$$ z_1 = 2 + 3i $$

$$ z_2 = 5 + 2i $$

Primero escribo la suma:

$$ z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (5 + 2i) $$

Después agrupo los términos reales por un lado y los imaginarios por otro:

$$ z_1 + z_2 = (2 + 5) + (3i + 2i) $$

Finalmente, realizo las sumas:

$$ z_1 + z_2 = 7 + 5i $$

Por tanto, el resultado es el número complejo \( 7 + 5i \). Su parte real es 7 y su parte imaginaria es \(5i\), cuyo coeficiente es 5.

Interpretación geométrica de la suma

La suma de números complejos también tiene una interpretación geométrica. Cada número complejo puede representarse como un punto o un vector en el plano complejo, también conocido como plano de Argand-Gauss.

Si represento dos números complejos mediante vectores con origen en (0,0), puedo sumarlos gráficamente utilizando la regla del paralelogramo.

Ejemplo práctico

Considero de nuevo los números complejos \( z_1 = 2+3i \) y \( z_2 = 5+2i \).

En el plano complejo, el primero corresponde al punto (2,3) y el segundo, al punto (5,2). La primera coordenada indica la parte real y la segunda, el coeficiente de la parte imaginaria.

Trazo dos vectores desde el origen de coordenadas (0,0) hasta los puntos que representan los números complejos.

Después aplico la regla del paralelogramo para obtener el vector suma.

El vector resultante parte del origen y termina en el punto (7,5).

Este punto representa el número complejo \( 7+5i \).

Por tanto, obtengo el mismo resultado que con la suma algebraica \( z_1 + z_2 \). La representación geométrica permite visualizar cómo se combinan las partes reales e imaginarias de los dos números.

Propiedades de la suma de números complejos

La suma de números complejos cumple varias propiedades fundamentales que permiten simplificar los cálculos y comprender mejor esta operación.

• Propiedad conmutativa
  El orden de los sumandos no cambia el resultado. Si considero dos números complejos \((a, b)\) y \((c, d)\), se cumple que: $$ (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) $$

  Ejemplo: Considero los números complejos (1,2) y (3,4). Puedo sumarlos en cualquier orden: $$ (1,2) + (3,4) = (3,4) + (1,2) = (1+3,2+4) = (4,6) $$ En ambos casos obtengo el mismo resultado.

• Propiedad asociativa
  Cuando sumo tres o más números complejos, puedo agruparlos de distintas maneras sin modificar el resultado. Para tres números complejos \((a, b)\), \((c, d)\) y \((e, f)\), se cumple que: $$ (a, b) + [(c, d) + (e, f)] = [(a, b) + (c, d)] + (e, f) $$

  Ejemplo: Considero los números complejos (1,2), (3,4) y (5,6). Puedo agrupar los dos últimos sumandos: $$ (1,2) + (3,4) + (5,6) = (1,2) + [(3,4) + (5,6)] $$ También podría sumar primero los dos primeros números. El resultado sería el mismo.

• Elemento neutro de la suma
  El número complejo \((0,0)\) es el elemento neutro aditivo. Esto significa que, al sumarlo a cualquier número complejo, su valor no cambia: $$ (a, b) + (0, 0) = (a, b) $$

  Ejemplo: Si sumo el elemento neutro al número complejo (1,2), obtengo: $$ (1,2) + (0,0) = (1,2) $$

• Suma de números complejos de la forma \((a, 0)\)
  Los números complejos cuya parte imaginaria es nula se identifican con los números reales. Por eso, si sumo dos números complejos de la forma \((a, 0)\) y \((b, 0)\), obtengo otro número complejo con parte imaginaria nula, equivalente al número real \(a+b\): $$ (a,0) + (b,0) = (a+b,0) $$

  Ejemplo: Si sumo los números complejos (1,0) y (3,0), obtengo: $$ (1,0) + (3,0) = (1+3, 0+0) = (4,0) $$ El resultado corresponde al número real 4.

Demostración de las propiedades

Las propiedades conmutativa y asociativa de la suma de números complejos se deducen directamente de las propiedades de la suma de números reales. Puedo comprobarlo utilizando la representación de los números complejos como pares ordenados.

A] Demostración de la propiedad conmutativa

Para demostrar que la suma de números complejos es conmutativa, considero dos números complejos cualesquiera \((a, b)\) y \((c, d)\), donde \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) son números reales.

Por definición, su suma es:

$$ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) $$

Ahora invierto el orden de los sumandos:

$$ (c, d) + (a, b) = (c + a, d + b) $$

Como la suma de números reales es conmutativa, se cumple que \(a + c = c + a\) y \(b + d = d + b\).

Por tanto, los dos pares ordenados son iguales:

$$ (a + c, b + d) = (c + a, d + b) $$

De aquí obtengo:

$$ (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) $$

Así queda demostrada la propiedad conmutativa de la suma de números complejos.

B] Demostración de la propiedad asociativa

Para demostrar la propiedad asociativa, considero tres números complejos cualesquiera \((a, b)\), \((c, d)\) y \((e, f)\), donde \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) y \(f\) son números reales.

Debo comprobar que:

$$ ((a, b) + (c, d)) + (e, f) = (a, b) + ((c, d) + (e, f)) $$

Primero calculo el miembro izquierdo. Sumo los dos primeros números complejos y después añado el tercero:

$$ (a + c, b + d) + (e, f) = ((a + c) + e, (b + d) + f) $$

Ahora calculo el miembro derecho. En este caso, sumo primero los dos últimos números complejos:

$$ (a, b) + (c + e, d + f) = (a + (c + e), b + (d + f)) $$

Como la suma de números reales es asociativa, sé que \((a + c) + e = a + (c + e)\) y \((b + d) + f = b + (d + f)\).

Por tanto, puedo escribir:

$$ (a + (c + e), (b + d) + f) = (a + (c + e), b + (d + f)) $$

Los dos miembros son iguales porque sus componentes correspondientes coinciden. De este modo, queda demostrada la propiedad asociativa de la suma de números complejos.

Observaciones adicionales

Hay dos casos particulares que resultan especialmente útiles al trabajar con números complejos: la suma de números conjugados y la suma de números opuestos.

• Suma de números complejos conjugados
  La suma de dos números complejos conjugados siempre es un número real igual al doble de su parte real. Esto ocurre porque las partes imaginarias son opuestas y se anulan al sumarlas. $$ (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (bi - bi) = 2a $$

  Ejemplo: Considero el número complejo \(3 + 4i\) y su conjugado \(3 - 4i\). Al sumarlos, obtengo: $$ (3 + 4i) + (3 - 4i) = 3 + 3 + 4i - 4i = 6 $$ El resultado es el número real \(6\), que equivale a \(2 \times 3\), es decir, al doble de la parte real de cualquiera de los dos números.

• Suma de números complejos opuestos
  La suma de dos números complejos opuestos siempre es cero. Dos números complejos son opuestos cuando sus partes reales tienen el mismo valor absoluto y signos contrarios, y lo mismo ocurre con sus partes imaginarias. Por eso, ambas componentes se anulan al sumarlas. Si considero el número complejo \(a + bi\), su opuesto, también llamado inverso aditivo, es \(-(a + bi) = -a - bi\). Al sumarlos, obtengo: $$ (a + bi) + (-a - bi) = (a - a) + (b - b)i = 0 + 0i = 0 $$

  Ejemplo: Considero el número complejo \(5 + 2i\) y su opuesto \(-5 - 2i\). Su suma es: $$ (5 + 2i) + (-5 - 2i) = (5 - 5) + (2 - 2)i = 0 + 0i = 0 $$ El resultado es \(0\), como ocurre siempre al sumar un número complejo y su opuesto.

En definitiva, sumar números complejos consiste en sumar sus componentes reales e imaginarias por separado. Esta operación puede realizarse algebraicamente o representarse geométricamente mediante vectores en el plano complejo. Sus propiedades permiten, además, simplificar los cálculos y trabajar con expresiones más complejas.