Comment déterminer l’inverse d’une matrice à coefficients entiers
Une matrice ne possède une inverse à coefficients entiers que si son déterminant est égal à 1. Le problème revient donc à caractériser les matrices dont le déterminant vaut exactement 1.
Le cas des matrices 2×2
Considérons une matrice 2×2 quelconque de déterminant unitaire :
$$ \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = 1 $$
Puisque le déterminant s’écrit
$$ ad - bc = 1 $$
il s’agit de trouver des entiers \(a, b, c, d\) satisfaisant cette égalité.
Par exemple, si \( ad = 9 \) et \( bc = 8 \), la condition est remplie. En choisissant \( a = 3 \) et \( d = 3 \), on obtient :
$$ M = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$
Ici, \( b = 2 \) et \( c = 4 \) donnent bien \( bc = 8 \). La matrice obtenue a pour déterminant :
$$ \det M = \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = 1 $$
Comme son déterminant est 1, la matrice est inversible et son inverse est également entière :
$$ M^{-1 } = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} $$
Vérification. Calculons le produit de M par son inverse : $$ M \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Comme prévu, le résultat est bien la matrice identité.
Le cas des matrices 3×3
Considérons à présent des entiers arbitraires \( a, b, c, d, e, f \) et formons le produit :
$$ \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ d & 1 & 0 \\ e & f & 1 \end{pmatrix} $$
On obtient ainsi une matrice 3×3 dont le déterminant est égal à 1 :
$$ \det \left( \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ d & 1 & 0 \\ e & f & 1 \end{pmatrix} \right) = 1 $$
On est donc assuré d’obtenir une matrice inversible dont l’inverse possède également des coefficients entiers.
Par exemple, en prenant \( a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5, f = 6 \) :
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ M = \begin{pmatrix} 15 & 13 & 2 \\ 19 & 19 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \end{pmatrix} $$
Cette matrice vérifie également la condition :
$$ \det M = \det \begin{pmatrix} 15 & 13 & 2 \\ 19 & 19 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \end{pmatrix} = 1 $$
Son inverse est donc elle aussi constituée uniquement d’entiers :
$$ M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -4 & 5 & -7 \\ 19 & -25 & 38 \end{pmatrix} $$
Le raisonnement peut naturellement être étendu à des matrices de dimension supérieure.
