Exercice : Calcul de l’inverse d’une matrice (1)

On cherche à déterminer l’inverse de la matrice suivante :

$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Pour ce faire, nous utilisons la méthode de l’élimination de Gauss-Jordan.

La procédure consiste à écrire la matrice identité I à droite de la matrice A :

$$ A | I = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

On applique ensuite une suite d’opérations élémentaires sur les lignes afin de transformer le bloc de gauche en matrice identité.

Première étape : on divise la première ligne par 4 (L1 → L1·1/4) :

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Deuxième étape : on échange la deuxième et la troisième ligne (L2 ↔ L3) :

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Troisième étape : on soustrait la troisième ligne à la deuxième (L2 → L2 − L3) :

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Quatrième étape : on soustrait la première ligne à la quatrième (L4 → L4 − L1) :

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 &| & -\tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Cinquième étape : on soustrait la deuxième ligne à la quatrième (L4 → L4 − L2) :

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &| & -\tfrac{1}{4} & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$

Sixième étape : on divise la troisième ligne par 2 (L3 → L3·1/2) :

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &| & -\tfrac{1}{4} & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$

À ce stade, le bloc de gauche est devenu la matrice identité I.

On en déduit immédiatement que le bloc de droite est l’inverse de A :

$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\tfrac{1}{4} & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$

Le calcul de l’inverse est ainsi entièrement achevé.