Exercice : bases des espaces vectoriels (4)
Nous allons démontrer que toute base de l’espace vectoriel $V = \mathbb{R}^n$ est nécessairement constituée de $n$ vecteurs.
$$ V = \mathbb{R}^n $$
Par définition, un espace vectoriel est de dimension $n$ si toute base $ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \} $ contient exactement $n$ vecteurs linéairement indépendants :
$$ B = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , \dots , \vec{v}_n \} $$
Pour illustrer cette propriété, considérons l’exemple classique formé par les vecteurs unitaires de la base canonique :
$$ B = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
Étape 1 : montrer que l’ensemble engendre $\mathbb{R}^n$
L’ensemble $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \}$ engendre $\mathbb{R}^n$ si tout vecteur $\vec{v} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ peut s’écrire comme une combinaison linéaire de ces vecteurs :
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + \dots + k_n \vec{v}_n = \vec{v} $$
En remplaçant les vecteurs de la base, on obtient :
$$ k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \dots + k_n \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} $$
ce qui équivaut au système :
$$ \begin{cases} k_1 = a_1 \\ k_2 = a_2 \\ \vdots \\ k_n = a_n \end{cases} $$
Chaque équation admet une unique solution : il suffit de poser $k_i = a_i$ pour tout $i$.
Ainsi, l’ensemble $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \}$ engendre bien $\mathbb{R}^n$.
Étape 2 : vérifier l’indépendance linéaire
Un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant si la seule solution du système :
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + \dots + k_n \vec{v}_n = \vec{0} $$
est la solution triviale $k_1 = k_2 = \dots = k_n = 0$.
En substituant les vecteurs de la base canonique, on obtient :
$$ k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \dots + k_n \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $$
d’où le système suivant :
$$ \begin{cases} k_1 = 0 \\ k_2 = 0 \\ \vdots \\ k_n = 0 \end{cases} $$
La seule solution possible est la solution triviale. Les vecteurs $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \}$ sont donc linéairement indépendants.
Étape 3 : conclusion
Puisque l’ensemble $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \}$ engendre $\mathbb{R}^n$ et que ses vecteurs sont linéairement indépendants, on peut conclure que :
il constitue une base de $\mathbb{R}^n$.
Remarque : les vecteurs $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \}$ - avec $\vec{v}_1 = (1, 0, \dots, 0)$, $\vec{v}_2 = (0, 1, \dots, 0)$, …, $\vec{v}_n = (0, 0, \dots, 1)$ - forment la base canonique de $\mathbb{R}^n$.
D’après le théorème de la dimension, toutes les bases d’un espace vectoriel possèdent la même cardinalité, c’est-à-dire le même nombre d’éléments.
Comme la base canonique comporte $n$ vecteurs, on en déduit que toute base de $\mathbb{R}^n$ contient exactement $n$ vecteurs linéairement indépendants.
Autrement dit, la dimension d’un espace vectoriel fixe le nombre de vecteurs nécessaires pour former une base : ni plus, ni moins.
