Exercice : bases des espaces vectoriels (5)
Soit $V = \mathbb{R}^3$ un espace vectoriel de dimension $\dim(V) = 3$. On considère le sous-espace $W = \langle \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \rangle$ engendré par les vecteurs $\vec{v}_1 = (2,\,0,\,1)$, $\vec{v}_2 = (1,\,1,\,2)$ et $\vec{v}_3 = (3,\,-1,\,0)$. Notre objectif est de déterminer la dimension du sous-espace $W$ et d’en établir une base.
Les vecteurs considérés sont :
$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Ces trois vecteurs forment un ensemble générateur du sous-espace $W$ :
$$ W = \langle \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \rangle $$
Pour savoir s’ils constituent une base, il faut vérifier s’ils sont linéairement indépendants.
Les vecteurs $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ et $\vec{v}_3$ sont linéairement indépendants si l’équation
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v}_3 = \vec{0} $$
n’admet que la solution triviale $k_1 = k_2 = k_3 = 0$.
En remplaçant les vecteurs, on obtient :
$$ \begin{pmatrix} 2k_1 + k_2 + 3k_3 \\ k_2 - k_3 \\ k_1 + 2k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
ce qui correspond au système d’équations suivant :
$$ \begin{cases} 2k_1 + k_2 + 3k_3 = 0 \\ k_2 - k_3 = 0 \\ k_1 + 2k_2 = 0 \end{cases} $$
D’après la deuxième équation, $k_2 = k_3$, et d’après la troisième, $k_1 = -2k_2$. En reportant ces expressions dans la première équation :
$$ 2(-2k_2) + k_2 + 3k_2 = -4k_2 + k_2 + 3k_2 = 0 $$
L’identité $0 = 0$ montre que le système admet une infinité de solutions. Les trois vecteurs sont donc linéairement dépendants et ne forment pas une base du sous-espace $W$.
Pour obtenir une base, il suffit d’éliminer un vecteur redondant. Comme $\vec{v}_3 = 2\vec{v}_1 - \vec{v}_2$, on peut écarter $\vec{v}_3$ et conserver les deux premiers :
$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2 \} $$
Étant donné que $\vec{v}_3$ appartient déjà au sous-espace engendré par $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$, le sous-espace généré reste inchangé :
$$ W = \langle \vec{v}_1, \vec{v}_2 \rangle $$
Vérifions maintenant que $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ sont bien linéairement indépendants :
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 = \vec{0} $$
En remplaçant les vecteurs :
$$ \begin{pmatrix} 2k_1 + k_2 \\ k_2 \\ k_1 + 2k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
d’où le système suivant :
$$ \begin{cases} 2k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 = 0 \\ k_1 + 2k_2 = 0 \end{cases} $$
De la deuxième équation, on déduit $k_2 = 0$. En le remplaçant dans la première, on obtient $k_1 = 0$. La seule solution étant la triviale, les vecteurs $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ sont bien linéairement indépendants.
On peut donc conclure que l’ensemble $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2 \}$ constitue une base du sous-espace $W$ :
$$ B_W = \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2 \} $$
Comme cette base contient deux vecteurs, la dimension du sous-espace $W$ est :
$$ \dim(W) = 2 $$
En d’autres termes, $W$ est un plan vectoriel de $\mathbb{R}^3$ engendré par les vecteurs $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$.
Et ainsi de suite.
