Comparación de números complejos
Dos números complejos son iguales $$ z_1 = z_2 $$ si y solo si tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria. Por tanto, deben cumplirse simultáneamente estas dos condiciones: $$ Re(z_1) = Re(z_2) $$ $$ Im(z_1) = Im(z_2) $$
Para comprobar si dos números complejos son iguales, basta con comparar sus componentes correspondientes. Si coinciden tanto la parte real como la parte imaginaria, los dos números son iguales.
Sin embargo, existe una diferencia importante con respecto a los números reales. Los números complejos no admiten una relación de orden natural compatible con las operaciones del cuerpo.
Por esta razón, en general no podemos comparar dos números complejos utilizando las relaciones habituales de menor que y mayor que. Para los números reales tiene sentido escribir \(3 < 5\), pero en el conjunto de los números complejos no existe una relación de orden natural que permita convertirlo en un cuerpo ordenado.
Ejemplo
Consideremos dos números complejos expresados como pares ordenados:
$$ z_1 = (3,4) $$
$$ z_2 = (2,5) $$
Estos dos números complejos no son iguales:
$$ z_1 \ne z_2 $$
Para comprobarlo, comparamos por separado sus partes reales y sus partes imaginarias:
$$ Re(z_1) = 3 \ne Re(z_2) = 2 $$
$$ Im(z_1) = 4 \ne Im(z_2) = 5 $$
Como ambas componentes son diferentes, \(z_1\) y \(z_2\) representan dos puntos distintos en el plano complejo. Además, dado que los números complejos no admiten una relación de orden natural compatible con las operaciones del cuerpo, no podemos afirmar, en el sentido habitual del orden numérico, que \(z_1\) sea mayor o menor que \(z_2\).
Ejemplo 2
Consideremos ahora estos dos números complejos:
$$ z_1 = (2,3) $$
$$ z_2 = (2,3) $$
En este caso, los dos números complejos son iguales, ya que coinciden tanto sus partes reales como sus partes imaginarias:
$$ Re(z_1) = Re(z_2) = 2 $$
$$ Im(z_1) = Im(z_2) = 3 $$
Por tanto, ambos números representan exactamente el mismo punto de coordenadas (2,3) en el plano complejo.
El criterio de igualdad es válido para cualquier par de números complejos. Para saber si son iguales, basta con comparar sus partes reales y sus partes imaginarias: si ambas coinciden, los números complejos son iguales; si al menos una de ellas es diferente, los números son distintos.
