Homomorfismo de anillos
Un homomorfismo entre dos anillos (R, +, *) y (R', +, *), es una aplicación $$ \phi: R \rightarrow R' $$ que satisface las siguientes propiedades para todo par de elementos a, b de R: $$ \phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b) $$ $$ \phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b) $$
Según sus propiedades, un homomorfismo de anillos se clasifica como:
- un automorfismo si R = R'
- un monomorfismo si φ es inyectivo
- un epimorfismo si φ es suprayectivo
- un isomorfismo si φ es biyectivo (inyectivo y suprayectivo)
Un ejemplo concreto
Uno de los ejemplos más sencillos de homomorfismo de anillos es el llamado homomorfismo nulo.
Es la aplicación que envía todo elemento de R al neutro aditivo de R':
$$ y = \phi(x) = x \cdot 0 $$
Esta función preserva la suma:
$$ \phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b) \quad \forall \ a, b \in R $$
Ejemplo. Sea a = 2 y b = 3 en R: $$ \phi(2 + 3) = \phi(5) = 5 \cdot 0 = 0 $$ $$ \phi(2) + \phi(3) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 $$ Como era de esperar, ambos resultados son cero.
La función también preserva el producto:
$$ \phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b) \quad \forall \ a, b \in R $$
Ejemplo. Nuevamente, con a = 2 y b = 3 en R: $$ \phi(2 \cdot 3) = \phi(6) = 6 \cdot 0 = 0 $$ $$ \phi(2) \cdot \phi(3) = (2 \cdot 0) \cdot (3 \cdot 0) = 0 $$ El resultado vuelve a ser cero, lo que confirma que se trata efectivamente de un homomorfismo de anillos.
Ejemplo 2
Consideremos ahora otra aplicación: $$ y = \phi(x) = 4 \cdot x $$ Esta función sí preserva la suma:
$$ \phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b) \quad \forall \ a, b \in R $$
Ejemplo. Sea a = 2 y b = 3 en R: $$ \phi(2 + 3) = \phi(2) + \phi(3) $$ $$ \phi(5) = 4 \cdot 5 = 20 $$ $$ \phi(2) + \phi(3) = 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 8 + 12 = 20 $$ Por lo tanto, se preserva la propiedad aditiva.
Sin embargo, no preserva el producto:
$$ \phi(a \cdot b) \ne \phi(a) \cdot \phi(b) \quad \text{en general} $$
Ejemplo. Sea a = 4 y b = 5 en R: $$ \phi(4 \cdot 5) = \phi(20) = 4 \cdot 20 = 80 $$ $$ \phi(4) \cdot \phi(5) = (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 5) = 16 \cdot 20 = 320 $$ Claramente: $$ 80 \ne 320 $$ Por lo tanto, esta aplicación no preserva el producto y no es un homomorfismo de anillos.
El núcleo (Ker)
El núcleo de un homomorfismo de anillos entre (R, +, *) y (R', +, *) es el subconjunto de R formado por todos los elementos que se envían al elemento cero de R'. Se denota por Ker φ: $$ Ker \, \phi = \{ r \in R \ | \ \phi(r) = 0_{R'} \} $$
Observaciones importantes
Algunas propiedades fundamentales de los homomorfismos de anillos:
- Para todo homomorfismo φ: R → R', el elemento neutro aditivo de R siempre se envía al neutro aditivo de R': $$ \phi(0) = 0 $$
Ejemplo. Tomando el cero de R y sumándolo o multiplicándolo por sí mismo: $$ \phi(0_R + 0_R) = \phi(0_R) + \phi(0_R) = 0_{R'} + 0_{R'} = 0_{R'} $$ $$ \phi(0_R \cdot 0_R) = \phi(0_R) \cdot \phi(0_R) = 0_{R'} \cdot 0_{R'} = 0_{R'} $$
Y así sucesivamente.
