Ideales de un anillo
Un ideal de un anillo $(R, +, *)$ es un subconjunto $I \subset R$ que forma un subgrupo aditivo $(I, +)$ de $R$, y que además cumple que para todo $i \in I$ y todo $r \in R$, se verifica: $$ i \cdot r \in I $$ o bien: $$ r \cdot i \in I $$ En el primer caso (cuando $i \cdot r \in I$), se dice que $I$ es un ideal por la derecha; en el segundo (cuando $r \cdot i \in I$), un ideal por la izquierda.
Si ambas condiciones se satisfacen, $I$ es un ideal bilateral (o ideal a dos lados).
Si el anillo $(R, +, *)$ es conmutativo, no es necesario distinguir: en ese caso hablamos simplemente de ideal.
Nota: Todo ideal por la izquierda (o por la derecha) de un anillo $R$ es también un subanillo de $R$. Sin embargo, la recíproca no siempre es cierta: un subanillo de $R$ no es necesariamente un ideal por la izquierda ni por la derecha.
Un ejemplo práctico
Ejemplo 1
Consideremos el anillo de los números enteros:
$$ ( \mathbb{Z}, +, * ) $$
El subconjunto $P \subset \mathbb{Z}$ de los enteros pares es un ideal del anillo conmutativo $(\mathbb{Z}, +, *)$, ya que el producto de un número par por cualquier entero sigue siendo par:
$$ \forall \ p \in P, \ \forall \ z \in \mathbb{Z}, \quad p \cdot z = z \cdot p \in P $$
Además, $P$ es un subgrupo aditivo $(P, +)$ de $\mathbb{Z}$: es cerrado para la suma, la suma es asociativa, el neutro aditivo $0$ pertenece a $P$, y para todo $p \in P$, su inverso aditivo $-p$ también pertenece a $P$.
Ejemplo 2
Para cualquier número natural $n \in \mathbb{N}$, el subconjunto $n \mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}$ - es decir, los múltiplos enteros de $n$ - es un ideal del anillo $(\mathbb{Z}, +, *)$.
Por ejemplo, si $n = 2$:
$$ 2 \mathbb{Z} = \{ \dots, -8, -6, -4, -2, \ 0, \ 2, \ 4, \ 6, \ 8, \dots \} $$
Este subconjunto es un grupo aditivo $(2 \mathbb{Z}, +)$: verifica la asociatividad, contiene el neutro aditivo $0$, y todo $x \in 2 \mathbb{Z}$ posee su inverso aditivo $-x \in 2 \mathbb{Z}$.
Además, el producto de cualquier elemento de $2 \mathbb{Z}$ por cualquier entero de $\mathbb{Z}$ sigue perteneciendo a $2 \mathbb{Z}$:
$$ \forall \ x \in 2 \mathbb{Z}, \ \forall \ z \in \mathbb{Z}, \quad x \cdot z = z \cdot x \in 2 \mathbb{Z} $$
Por tanto, $2 \mathbb{Z}$ es un ideal de $(\mathbb{Z}, +, *)$.
Ejemplo 3
El conjunto de matrices cuadradas de tamaño $n \times n$ cuya última columna es nula forma un ideal por la izquierda en el anillo de todas las matrices $n \times n$. Sin embargo, no es un ideal por la derecha.
Por ejemplo, consideremos las matrices $2 \times 2$: $$ M_2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$ y el subconjunto de matrices con última columna nula: $$ M'_2 = \begin{pmatrix} e & 0 \\ f & 0 \end{pmatrix} $$ El producto $M_2 \cdot M'_2$ da como resultado una matriz que sigue perteneciendo a $M'_2$, por lo que $M'_2$ es cerrado bajo multiplicación por la izquierda y es un ideal por la izquierda: $$ M_2 \cdot M'_2 = \begin{pmatrix} ae + bf & 0 \\ ce + df & 0 \end{pmatrix} $$ En cambio: $$ M'_2 \cdot M_2 = \begin{pmatrix} ae & eb \\ af & fb \end{pmatrix} $$ en general no pertenece a $M'_2$, ya que no conserva la última columna nula. Por lo tanto, $M'_2$ no es un ideal por la derecha.
Ejemplo 4
Sea $K[x]$ el anillo de todos los polinomios con coeficientes reales (es decir, $K = \mathbb{R}$).
El conjunto $K_0[x]$ de polinomios cuyo término independiente es nulo constituye un ideal del anillo $(P, +, *)$, por las siguientes razones:
- $K_0[x]$ es un subconjunto de $K[x]$: $$ K_0[x] \subset K[x] $$
- $K_0[x]$ es un subgrupo aditivo: es cerrado bajo la suma, contiene el polinomio nulo (que tiene término independiente nulo), y es cerrado respecto a los inversos aditivos.
- El producto de cualquier polinomio de $K[x]$ por cualquier polinomio de $K_0[x]$ pertenece a $K_0[x]$.
Ejemplo: $$ x^2 + 1 \in K[x] $$ $$ x^2 + x \in K_0[x] $$ Su producto es: $$ (x^2 + 1)(x^2 + x) = x^4 + x^3 + x^2 + x \in K_0[x] $$ que sigue teniendo término independiente nulo.
Por tanto, $K_0[x]$ es un ideal de $(P, +, *)$.
Ideales triviales
Todo anillo $(R, +, *)$ posee siempre dos ideales triviales: el subconjunto que contiene únicamente el neutro aditivo $\{0\}$, y el propio anillo $R$.
Ejemplo
Consideremos el anillo conmutativo de los números reales:
$$ ( \mathbb{R}, +, * ) $$
Los ideales triviales de este anillo son:
- El conjunto completo $R \subseteq R$, que es un ideal por ser un grupo aditivo y estar cerrado bajo la multiplicación.
- El conjunto unitario $\{0\}$, que es ideal ya que satisface de manera trivial todas las propiedades requeridas.
Observaciones
Algunas propiedades adicionales sobre los ideales:
- El núcleo (Ker φ) de un homomorfismo de anillos de $(R, +, *)$ a $(R', +, *)$ es siempre un ideal bilateral.
Demostración: Para todo $k \in \text{Ker} \ \phi$ y $r \in R$, se cumple: $$ \phi(k) \cdot \phi(r) = 0 \cdot \phi(r) = 0 $$ $$ \phi(r) \cdot \phi(k) = \phi(r) \cdot 0 = 0 $$ Por tanto: $$ 0 \in \text{Ker} \ \phi $$ lo que muestra que $\text{Ker} \ \phi$ es cerrado bajo multiplicación tanto por la izquierda como por la derecha.
Y así sucesivamente.
