Subanillos

Dado un anillo (R, +, *), un subanillo (S, +, *) es un subconjunto no vacío S de R que satisface todas las propiedades de un anillo respecto a las mismas operaciones + y *.

En el caso de los subanillos, la primera operación (la suma) debe convertir a (S, +) en un grupo aditivo.

¿Cómo determinar si un subconjunto es un subanillo?

Para comprobar si un subconjunto S ⊂ R constituye un subanillo (S, +, *) del anillo (R, +, *), basta con verificar que (S, +) sea un grupo.

Nota: La primera operación en los anillos se denomina operación aditiva (o suma), aunque no siempre se corresponda con la suma usual. Por ello se suele decir que (S, +) es un grupo aditivo. Como (R, +, *) es un anillo, su estructura aditiva (R, +) es también un grupo aditivo, y por tanto (S, +) es un subgrupo de (R, +).

Ejemplo

Consideremos el anillo de los números reales R con las operaciones de suma (+) y producto (·):

$$ (R,+,·) $$

Queremos verificar si el conjunto de los números enteros Z es un subanillo (Z, +, ·) del anillo (R, +, ·) respecto a las mismas operaciones.

$$ (Z,+,·) $$

La primera condición se cumple, ya que Z es un subconjunto de R:

$$ Z \subset R $$

A continuación, debemos comprobar que la estructura algebraica (Z, +, ·) satisface las propiedades de los anillos.

• Z es cerrado respecto a + y ·.
• La suma es conmutativa en Z: $$ \forall \ a,b \in Z \ \ \ \ a+b = b+a $$
• La suma es asociativa en Z: $$ \forall \ a,b,c \in Z \ \ \ \ (a+b)+c = a+(b+c) $$
• Existe un elemento neutro aditivo en Z: $$ \forall \ a \in Z \ \ \ \ a+0 = 0+a = a $$
• Todo elemento de Z posee inverso aditivo (-a): $$ \forall \ a \in Z \ \ \ \ a+(-a) = (-a)+a = 0 $$
• El producto es asociativo en Z: $$ \forall \ a,b,c \in Z \ \ \ \ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $$
• El producto es distributivo respecto de la suma en Z: $$ \forall \ a,b,c \in Z \ \ \ \ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c $$ $$ \forall \ a,b,c \in Z \ \ \ \ (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $$

La estructura algebraica (Z, +, ·) cumple todas las propiedades de un anillo con respecto a la suma y al producto.

Por tanto, (Z, +, ·) es un subanillo de (R, +, ·).

Ejemplo 2

El conjunto de polinomios P[x] = { xⁿ + ... + x + b } de cualquier grado n sobre el cuerpo de los números reales R forma un anillo (P[x], +, ·) con las operaciones de suma y producto.

$$ (P[x], +, ·) $$

El subconjunto P₀ ⊂ P, formado por los polinomios cuyo término independiente es cero, es decir: P₀[x] = { xⁿ + ... + x }, constituye un subanillo:

$$ (P_0[x], +, ·) $$

Un método más eficiente de verificación

Dado un anillo (R, +, *), para comprobar si un subconjunto S ⊂ R es un subanillo (S, +, *), basta verificar que se cumplan las siguientes condiciones: $$ \forall \ a,b \in S \ \ \ \ a - b \in S $$ $$ \forall \ a,b \in S \ \ \ \ ab \in S $$

Ejemplo

Consideremos el anillo (R, +, ·) de los números reales R con las operaciones de suma y producto:

$$ (R, +, ·) $$

Vamos a comprobar si el subconjunto de los enteros Z satisface estas dos condiciones:

$$ Z \subset R $$

La primera condición se cumple: la diferencia de dos enteros es siempre un entero:

$$ \forall \ a,b \in Z \ \ \ \ a - b \in Z $$

La segunda condición también se verifica: el producto de dos enteros es un entero:

$$ \forall \ a,b \in Z \ \ \ \ ab \in Z $$

Por tanto, el conjunto Z es un subanillo (Z, +, ·) del anillo (R, +, ·).

Demostración. Si se cumplen las siguientes condiciones: $$ \forall \ a,b \in S \ \ \ \ a - b \in S $$ $$ \forall \ a,b \in S \ \ \ \ ab \in S $$ donde S es un subconjunto de R, siendo R un anillo (R, +, *), se deduce que el neutro aditivo 0 pertenece a S, ya que al tomar a = b se obtiene: $$ a - b = 0 $$ Además, cada elemento de S posee inverso aditivo: $$ 0 - a = -a \in S \ \ \ \ \forall \ a \in S $$ Puesto que todos los elementos de S tienen inverso aditivo, se deduce que S es cerrado respecto a la suma: $$ a - (-b) = a + b \in S \ \ \ \ \forall \ a, b \in S $$ De ello se concluye que (S, +) es un grupo aditivo. En consecuencia, (S, +, *) es un subanillo de (R, +, *).

Subanillos triviales

Ejemplo

Consideremos el anillo (R, +, ·) de los números reales con las operaciones de suma y producto:

$$ (R, +, ·) $$

El subconjunto S = {0} ⊂ R es un subanillo trivial (S, +, ·) de (R, +, ·).

$$ (S, +, ·) $$

El conjunto S = {0} verifica todas las propiedades de anillo:

• Cerrado respecto a la suma y al producto: $$ 0 + 0 = 0 \in S $$ $$ 0 \cdot 0 = 0 \in S $$
• La suma es conmutativa: $$ \forall \ a,b \in S \ \ \ \ a + b = b + a $$
• La suma es asociativa: $$ \forall \ a,b,c \in S \ \ \ \ (a + b) + c = a + (b + c) $$
• El neutro aditivo pertenece a S: $$ \forall \ a \in S \ \ \ \ a + 0 = 0 + a = a $$
• Todo elemento de S posee inverso aditivo (que es el propio 0): $$ \forall \ a \in S \ \ \ \ a + (-a) = (-a) + a = 0 $$
• El producto es asociativo: $$ \forall \ a,b,c \in S \ \ \ \ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $$
• El producto es distributivo respecto a la suma: $$ \forall \ a,b,c \in S \ \ \ \ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $$ $$ \forall \ a,b,c \in S \ \ \ \ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $$

Por tanto, el conjunto S = {0} constituye un subanillo trivial (S, +, ·) del anillo (R, +, ·).

Nota: Lo mismo sucede con el subconjunto impropio S = R: dado que S y R coinciden, si (R, +, *) es un anillo, entonces S = R es también un subanillo.

Y así sucesivamente.