Núcleo (Ker) de un homomorfismo de anillos
El núcleo de un homomorfismo de anillos entre dos anillos $(R, +, *)$ y $(R', +, *)$ es el subconjunto de $R$ formado por todos los elementos que se envían al elemento neutro aditivo de $R'$. Este subconjunto se denota por Ker φ: $$ Ker \ \phi = \{ r \in R \ | \ \phi(r) = 0_{R'} \} $$
El núcleo es siempre un subanillo de $R$.
Además, al multiplicar cualquier elemento de $R$ por un elemento del núcleo - ya sea por la izquierda o por la derecha - el resultado sigue perteneciendo al núcleo:
$$ \phi(k \cdot r) = \phi(k) \cdot \phi(r) = 0 \cdot \phi(r) = 0 $$
Aquí, $0$ denota el neutro aditivo de $R'$, y como $$ 0 \in Ker \ \phi $$ el producto pertenece también al núcleo.
Un ejemplo concreto
Consideremos los anillos $(\mathbb{Z}_6, +, *)$ y $(\mathbb{Z}_3, +, *)$
donde $\mathbb{Z}_n$ representa el anillo de los enteros módulo $n$:
$$ \mathbb{Z}_6 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} $$
$$ \mathbb{Z}_3 = \{ 0, 1, 2 \} $$
Un homomorfismo de $\mathbb{Z}_6$ en $\mathbb{Z}_3$ puede definirse mediante la proyección natural:
$$ \phi(x) = x \mod 3 $$
El núcleo de este homomorfismo es el conjunto $\{0, 3\}$ en $\mathbb{Z}_6$, ya que estos son los únicos elementos que se envían al neutro aditivo en $\mathbb{Z}_3$, es decir: $$ \phi(x) = 0_{\mathbb{Z}_3} $$ para todo $x \in \{ 0, 3 \}$.
Y así sucesivamente.
