Álgebra abstracta
¿Qué es el álgebra abstracta?
El álgebra abstracta es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las estructuras algebraicas.
Una estructura algebraica está constituida por un conjunto de elementos S y un conjunto de operaciones (por ejemplo, +, *) definidas sobre dichos elementos.
Se habla de "estructura" porque está caracterizada por un conjunto y al menos una ley de composición (operación binaria).
Por ejemplo, esta estructura algebraica está formada por el conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3, ...} junto con la operación de multiplicación * $$ (N,*) $$
La estructura algebraica más sencilla recibe el nombre de magma.
A partir del concepto de magma, se derivan distintos tipos de estructuras algebraicas en función de las propiedades que cumpla la ley de composición.
Entre las principales estructuras estudiadas en álgebra abstracta se encuentran:
- anillos
- grupos
- cuerpos
- anillos de división
- espacios vectoriales
- retículos
El álgebra abstracta también proporciona la base teórica para la álgebra de Boole y el álgebra lineal.
¿Por qué se denomina álgebra abstracta? Se la denomina "abstracta" porque establece las propiedades de las estructuras algebraicas de manera independiente de cualquier representación numérica concreta. El término "álgebra abstracta" fue acuñado a comienzos del siglo XX con el fin de distinguir esta rama axiomática de las matemáticas del álgebra elemental, que se centra en las reglas de cálculo en los conjuntos de números reales y complejos.
¿Cuál es el propósito del álgebra abstracta?
El álgebra abstracta tiene múltiples aplicaciones prácticas en campos científicos y tecnológicos.
Por ejemplo, el álgebra lineal - una disciplina dentro del álgebra abstracta - se utiliza ampliamente en áreas como la ingeniería y la física.
Además, el álgebra abstracta constituye uno de los fundamentos de las matemáticas modernas y desempeña un papel esencial en el desarrollo de nuevas teorías matemáticas.
Historia del álgebra abstracta. El álgebra abstracta surgió en el siglo XIX como respuesta a problemas complejos en distintas ramas de las matemáticas, como los trabajos de Gauss sobre cuerpos y los estudios de Galois sobre grupos de polinomios. A comienzos del siglo XX, estas teorías se consolidaron en una disciplina unificada bajo el nombre de "álgebra abstracta", en contraste con el álgebra elemental. Durante el siglo XX se definieron de forma axiomática diversas estructuras algebraicas, que en la actualidad forman parte de los programas universitarios de matemáticas, física e ingeniería.
Y así sucesivamente.
