Campo numérico

En álgebra, un campo numérico es una subclase de los campos compuesta exclusivamente por números o elementos numéricos. En cambio, en teoría de números, un campo numérico se define como una extensión finita del campo de los números racionales $ \mathbb{Q} $.

Desde la perspectiva del álgebra, un campo numérico se considera una subclase del campo general, caracterizada por ciertas propiedades específicas.

Campo general: estructura algebraica abstracta definida sobre conjuntos que no necesariamente contienen números.
Campo numérico: subclase de los campos generales cuyos elementos son números o entidades numéricas, como los números racionales, reales, complejos o sus extensiones algebraicas.

Por tanto, desde el punto de vista algebraico, un campo numérico es un tipo particular de campo general; sin embargo, no todo campo es un campo numérico.

Por ejemplo, el campo de los números reales $ \mathbb{R} $, el de los números complejos $ \mathbb{C} $, y el de los números racionales $ \mathbb{Q} $ son todos campos numéricos.

En teoría de números, un campo numérico se define como una extensión finita del campo de los números racionales $ \mathbb{Q} $.

Es decir, se trata de un campo que contiene a $ \mathbb{Q} $ y que se genera añadiendo a $ \mathbb{Q} $ un número finito de elementos, los cuales son soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales.

De forma más precisa, si $ K $ es un campo que contiene a $ \mathbb{Q} $, diremos que $ K $ es un campo numérico si su dimensión como espacio vectorial sobre $ \mathbb{Q} $ es finita. Esta dimensión se conoce como el grado de la extensión de $ K $ sobre $ \mathbb{Q} $.

Por ejemplo, el campo $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $, que está formado por todos los números de la forma $ a + b\sqrt{2} $ con $ a, b \in \mathbb{Q} $, es un campo numérico de grado 2 sobre $ \mathbb{Q} $, ya que $ 1 $ y $ \sqrt{2} $ constituyen una base de $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $ como espacio vectorial sobre $ \mathbb{Q} $.

Un ejemplo práctico

El campo $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $ es una extensión finita de $ \mathbb{Q} $, que contiene todos los números de la forma $ a + b\sqrt{2} $, donde $ a $ y $ b $ son racionales.

Dicho campo se genera añadiendo $ \sqrt{2} $ al campo de los números racionales.

Por ejemplo, si tomamos dos elementos de $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $, como $ (1 + \sqrt{2}) $ y $ (3 - 2\sqrt{2}) $, podemos sumarlos:

$$ (1 + \sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 4 - \sqrt{2} $$

También podemos multiplicarlos:

$$ (1 + \sqrt{2}) \times (3 - 2\sqrt{2}) = 1 \times 3 + 1 \times (-2\sqrt{2}) + \sqrt{2} \times 3 + \sqrt{2} \times (-2\sqrt{2}) $$

$$ = 3 - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4 = -1 + \sqrt{2} $$

El campo $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $ es una extensión finita de $ \mathbb{Q} $, ya que se genera añadiendo un número finito de elementos al campo base. En este caso, basta con añadir $ \sqrt{2} $.

Este campo contiene todos los números racionales $ \mathbb{Q} $, junto con un número finito de nuevos elementos, como $ \sqrt{2} $, que no pertenecen a $ \mathbb{Q} $.

Y así sucesivamente.