Divisores de Cero
En un anillo conmutativo (S,+,·), un elemento no nulo a≠0 del conjunto S se denomina divisor de cero cuando existe otro elemento no nulo b≠0 en S tal que su producto es igual a cero: $$ \exists \ \ a,b \in S \ , \ a \ne 0 \ , \ b \ne 0 \ \ \ | \ \ \ a \cdot b = 0 $$
El anillo conmutativo de los números reales (R,+,*) no contiene divisores de cero, y esta característica hace que el concepto pueda sorprender al principio a quienes se acercan por primera vez al álgebra abstracta.
Nota. La mayoría de nosotros crecimos escuchando que dividir entre cero no tiene sentido. Esa idea queda tan arraigada que, cuando encontramos estructuras donde un producto puede ser cero sin que ninguno de los factores lo sea, es normal sentir cierta extrañeza.
Para entender mejor qué está ocurriendo, veamos un ejemplo sencillo dentro de la aritmética modular.
Un Ejemplo Práctico
Consideremos las clases de equivalencia módulo 6:
$$ Z_6 = \{ 0,1,2,3,4,5 \} $$
Este conjunto forma un anillo conmutativo con las operaciones usuales definidas módulo 6:
$$ (Z_6,+, \cdot) $$
Para averiguar si en él aparecen divisores de cero, basta con observar su tabla de multiplicación:
| a ·6 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
| 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 4 | 0 | 4 | 2 |
0 | 4 | 2 |
| 5 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
La tabla muestra claramente que 2, 3 y 4 actúan como divisores de cero.
Veamos uno de los casos más directos, el de 2 y 3:
$$ 2 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6 $$
Explicación. Calculamos el producto: $$ 2 \cdot 3 = 6 $$ Luego lo reducimos módulo 6: $$ 6 \div 6 = 1 \ \ r = 0 $$ Como el resto es cero, el producto equivale a cero en Z₆. Lo mismo ocurre si multiplicamos 3 por 2.
Con 4 sucede algo similar:
$$ 4 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6 $$
Explicación. Multiplicamos ambos números: $$ 4 \cdot 3 = 12 $$ Reducimos módulo 6: $$ 12 \div 6 = 2 \ \ r = 0 $$ El resto vuelve a ser cero, por lo que 4·3 también se anula en este anillo.
Ejemplo 2
Comparemos ahora con un anillo mucho más familiar: el de los números reales (R,+,·):
$$ (R,+,*) $$
En él, el producto de dos números reales no nulos nunca puede dar cero:
$$ \forall \ a,b \in R \ , \ a \ne 0 \ , \ b \ne 0 \ \Longrightarrow \ ab \ne 0 $$
Equivalente a decir que si un producto es cero, entonces uno de los factores lo es necesariamente:
$$ ab=0 \ \Longrightarrow \ a=0 \ \text{or} \ b = 0 $$
En consecuencia, los números reales no presentan divisores de cero.
Este contraste entre distintos anillos es una de las claves para comprender por qué los divisores de cero son una herramienta tan útil en álgebra.
