Homomorphisme d’anneaux
Un homomorphisme entre deux anneaux (R, +, *) et (R', +, *) est une application $$ \phi: R \rightarrow R' $$ qui conserve la structure algébrique de R. Concrètement, pour tous éléments a et b de R, elle vérifie: $$ \phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b) $$ $$ \phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b) $$ Cela signifie que φ transpose fidèlement l’addition et la multiplication de R dans R'.
Dans cette perspective, on classe les homomorphismes d’anneaux en plusieurs catégories:
- automorphisme si R et R' sont identiques
- monomorphisme si φ est injectif
- épimorphisme si φ est surjectif
- isomorphisme si φ est bijectif
Un premier exemple
Un cas particulièrement simple et instructif est l’homomorphisme nul.
On définit cette application en envoyant chaque élément de R sur l’élément nul de R':
$$ y = \phi(x) = x \cdot 0 $$
Cette application respecte immédiatement l’addition:
$$ \phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b) $$
Exemple. Avec a = 2 et b = 3 dans R: $$ \phi(2 + 3) = \phi(5) = 5 \cdot 0 = 0 $$ $$ \phi(2) + \phi(3) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 $$ Les deux calculs donnent le même résultat.
Le produit est lui aussi conservé:
$$ \phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b) $$
Exemple. Toujours avec a = 2 et b = 3: $$ \phi(2 \cdot 3) = \phi(6) = 6 \cdot 0 = 0 $$ $$ \phi(2) \cdot \phi(3) = (2 \cdot 0) \cdot (3 \cdot 0) = 0 $$ Le comportement est cohérent dans les deux cas.
Un contre-exemple utile
Considérons maintenant l’application linéaire: $$ y = \phi(x) = 4 \cdot x $$ Celle-ci respecte l’addition, mais pas la multiplication.
$$ \phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b) $$
Exemple. Avec a = 2 et b = 3: $$ \phi(5) = 20 $$ $$ \phi(2) + \phi(3) = 8 + 12 = 20 $$ L’addition est correctement transposée.
En revanche, pour le produit:
$$ \phi(a \cdot b) \ne \phi(a) \cdot \phi(b) $$
Exemple. Avec a = 4 et b = 5: $$ \phi(4 \cdot 5) = 80 $$ $$ \phi(4) \cdot \phi(5) = 320 $$ Les deux résultats ne coïncident pas, ce qui montre clairement que cette application n’est pas un homomorphisme d’anneaux.
Le noyau (Ker)
Le noyau d’un homomorphisme d’anneaux φ est l’ensemble des éléments de R envoyés sur l’élément nul de R'. Il se note: $$ Ker \, \phi = \{ r \in R \ | \ \phi(r) = 0_{R'} \} $$
Points essentiels à retenir
Voici une propriété générale qui vaut pour tout homomorphisme d’anneaux:
- l’élément nul de R est toujours envoyé sur l’élément nul de R': $$ \phi(0) = 0 $$
Exemple. En utilisant les opérations internes de R: $$ \phi(0_R + 0_R) = 0_{R'} $$ $$ \phi(0_R \cdot 0_R) = 0_{R'} $$
Ces observations constituent le socle des propriétés plus avancées que l’on étudie ensuite dans la théorie des anneaux.
