Noyau (Ker) d’un homomorphisme d’anneaux
Le noyau d'un homomorphisme d'anneaux entre deux anneaux $(R, +, *)$ et $(R', +, *)$ désigne l'ensemble des éléments de $R$ que l'application envoie sur l'élément neutre additif de $R'$. On le note Ker φ : $$ Ker \ \phi = \{ r \in R \ | \ \phi(r) = 0_{R'} \}. $$ Cette définition permet d'identifier rapidement les éléments qui, du point de vue de l'homomorphisme, se comportent comme un « zéro ».
Le noyau constitue toujours un sous-anneau de $R$. On peut le vérifier directement grâce à une propriété simple mais essentielle : si l'on multiplie un élément de $R$ par un élément du noyau, à gauche ou à droite, le résultat reste dans le noyau :
$$ \phi(k \cdot r) = \phi(k) \cdot \phi(r) = 0 \cdot \phi(r) = 0. $$
Ici, $0$ représente le neutre additif de $R'$. Comme $$ 0 \in Ker \ \phi, $$ toute combinaison qui fait intervenir un élément du noyau reste elle aussi dans le noyau.
Un exemple concret
Pour mieux visualiser cette notion, prenons les anneaux $(\mathbb{Z}_6, +, *)$ et $(\mathbb{Z}_3, +, *)$, où $\mathbb{Z}_n$ désigne l'anneau des entiers modulo $n$ :
$$ \mathbb{Z}_6 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \}, \qquad \mathbb{Z}_3 = \{ 0, 1, 2 \}. $$
On définit un homomorphisme de $\mathbb{Z}_6$ vers $\mathbb{Z}_3$ à l'aide de la projection canonique :
$$ \phi(x) = x \mod 3. $$
Le noyau de cette application est l'ensemble $\{0, 3\}$ dans $\mathbb{Z}_6$. Ce sont en effet les seuls éléments dont l'image modulo 3 vaut le neutre additif de $\mathbb{Z}_3$, autrement dit $$ \phi(x) = 0_{\mathbb{Z}_3} $$ pour tout $x \in \{ 0, 3 \} $.
Cette méthode se généralise facilement à d'autres anneaux et à d'autres homomorphismes, ce qui permet d'explorer la structure algébrique des applications entre anneaux.
