Sous-anneaux

Un sous-anneau (S, +, *) d'un anneau (R, +, *) est simplement une partie non vide de R qui, avec les mêmes opérations, satisfait de nouveau tous les axiomes d'un anneau. Autrement dit, à l'intérieur d'un anneau, un sous-anneau est un « anneau complet » à part entière.

Pour que S soit un sous-anneau, il faut et il suffit que (S, +) forme un groupe abélien. Ce point constitue le cœur de la vérification.

Comment identifier rapidement un sous-anneau ?

Le test le plus simple consiste à vérifier que (S, +) est un sous-groupe du groupe additif (R, +). Ce critère, très utilisé en algèbre, évite d'avoir à vérifier tous les axiomes un par un.

Remarque : Dans tout anneau, l'opération d'addition définit un groupe abélien, appelé groupe additif. Comme (R, +, *) est un anneau, (R, +) est déjà un groupe abélien. Ainsi, pour que S soit un sous-anneau, il suffit que (S, +) soit un sous-groupe de (R, +).

Exemple

Considérons l'anneau des réels:

$$ (R,+,·) $$

On cherche à savoir si l'ensemble des entiers relatifs Z forme un sous-anneau de R.

$$ (Z,+,·) $$

Comme Z est inclus dans R, la première condition est remplie :

$$ Z \subset R $$

Vérifions maintenant si (Z, +, ·) satisfait les axiomes d'un anneau.

• Z est stable pour l'addition et la multiplication.
• L'addition est commutative et associative.
• 0 est le neutre additif.
• Chaque entier possède un inverse additif.
• La multiplication est associative.
• La multiplication est distributive sur l'addition.

On retrouve donc toutes les propriétés attendues. Cela confirme que (Z, +, ·) est un sous-anneau de (R, +, ·).

Exemple 2

L'ensemble des polynômes à coefficients réels, noté P[x], forme un anneau muni de l'addition et de la multiplication usuelles.

$$ (P[x], +, ·) $$

Intéressons-nous maintenant à P₀, l'ensemble des polynômes dont le terme constant est nul. Cet ensemble :

$$ P_0[x] = \{ x^n + \dots + x \} $$

est lui aussi un sous-anneau, car il est stable pour la différence et pour le produit.

Un critère encore plus rapide

Pour déterminer si S ⊂ R est un sous-anneau, deux conditions suffisent : $$ \forall a,b \in S,\quad a-b \in S $$ $$ \forall a,b \in S,\quad ab \in S $$

Ces deux propriétés encapsulent toutes les autres, car elles garantissent la présence d'un neutre additif, des inverses additifs et la stabilité des opérations nécessaires.

Exemple

Dans l'anneau des réels, vérifions si Z satisfait ce critère :

$$ Z \subset R $$

La différence de deux entiers appartient à Z :

$$ a-b \in Z $$

Le produit de deux entiers appartient aussi à Z :

$$ ab \in Z $$

Les deux conditions sont remplies. Z est donc un sous-anneau de R.

Démonstration. Si l'on suppose que : $$ a-b \in S \quad \text{et} \quad ab \in S, $$ pour tous a,b ∈ S, alors 0 appartient forcément à S, car : $$ a-a = 0. $$ Tout élément possède un inverse additif, puisque : $$ -a = 0-a \in S. $$ On obtient alors la stabilité pour l'addition : $$ a + b = a - (-b) \in S. $$ Cela montre que (S, +) est un groupe abélien, et que (S, +, *) est bien un sous-anneau de (R, +, *).

Sous-anneaux triviaux

Exemple

Dans l'anneau des réels, S = {0} est un sous-anneau trivial :

$$ (S, +, ·) $$

Il satisfait tous les axiomes d'un anneau, même si sa structure est minimaliste :

• Stabilité pour + et ·.
• Commutativité et associativité de l'addition.
• 0 est le neutre additif.
• 0 est son propre inverse.
• Associativité de la multiplication.
• Distributivité de la multiplication sur l'addition.

On conclut donc que S = {0} est un sous-anneau trivial de R.

Remarque : De la même manière, S = R est un sous-anneau. On l'appelle parfois sous-anneau impropre, puisqu'il coïncide avec l'anneau lui-même.

Ces deux cas encadrent, en quelque sorte, tous les sous-anneaux possibles d'un anneau donné.