Metrische ruimten

Wat is een metrische ruimte?

Een metrische ruimte is een paar \( (X, d) \), waarbij \( X \) een verzameling is en \( d \) een functie, de metriek genoemd, die aan elk paar punten \( x, y \in X \) een niet-negatief reëel getal toekent. Dit getal, genoteerd als \( d(x, y) \), stelt de afstand tussen de punten \( x \) en \( y \) voor. Een metrische ruimte wordt gewoonlijk genoteerd als \( (X, d) \). $$ (X,d) $$

Een functie kan alleen een metriek worden genoemd wanneer zij voldoet aan drie fundamentele eigenschappen:

1. Positieve definietheid : \( d(x, y) \geq 0 \) voor alle \( x, y \in X \), en \( d(x, y) = 0 \) dan en slechts dan als \( x = y \). De afstand van een punt tot zichzelf is dus altijd nul, terwijl twee verschillende punten een strikt positieve afstand hebben.
2. Symmetrie : \( d(x, y) = d(y, x) \) voor alle \( x, y \in X \). De volgorde van de punten heeft dus geen invloed op de afstand.
3. Driehoeksongelijkheid : \( d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z) \) voor alle \( x, y, z \in X \). De directe afstand tussen twee punten is dus nooit groter dan een omweg via een derde punt.

Het begrip metrische ruimte vormt een van de fundamenten van de moderne analyse en topologie. Dankzij metrische ruimten kunnen wiskundigen op een nauwkeurige manier begrippen zoals continuïteit, convergentie, limieten en compactheid bestuderen.

In essentie is een metrische ruimte dus eenvoudigweg een verzameling \( X \) uitgerust met een afstandsfunctie \( d \).

Dat idee lijkt eenvoudig, maar het is bijzonder krachtig. Hetzelfde concept kan namelijk worden toegepast op zowel eindige verzamelingen punten als op abstracte ruimten met oneindig veel dimensies.

Een concreet voorbeeld

Een van de bekendste voorbeelden van een metrische ruimte is de Euclidische ruimte \( \mathbb{R}^n \). Dit is de ruimte die we kennen uit de klassieke meetkunde: het vlak wanneer \( n = 2 \), en de gewone driedimensionale ruimte wanneer \( n = 3 \).

Beschouw bijvoorbeeld \( \mathbb{R}^2 \), het cartesische vlak.

De Euclidische metriek \( d \) wordt voor twee punten \( p = (p_1, p_2) \) en \( q = (q_1, q_2) \) gedefinieerd door:

$$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$

Deze formule geeft de Euclidische afstand weer, oftewel de kortste afstand langs een rechte lijn tussen de punten \( p \) en \( q \).

De Euclidische metriek voldoet aan alle voorwaarden van een metriek:

1. Positieve definietheid : Een vierkantswortel van een som van kwadraten is altijd positief of nul. De afstand is alleen gelijk aan nul wanneer \( p = q \).
2. Symmetrie : Omdat \( (p_1 - q_1)^2 = (q_1 - p_1)^2 \), geldt automatisch dat \( d(p, q) = d(q, p) \).
3. Driehoeksongelijkheid : Deze eigenschap volgt uit de stelling van Pythagoras en andere fundamentele resultaten uit de meetkunde.

Daarom vormt de ruimte \( (\mathbb{R}^2, d) \), waarbij \( d \) de Euclidische afstand voorstelt, een klassiek voorbeeld van een metrische ruimte.

De afstandsfunctie of metriek

Wat wordt precies bedoeld met een afstandsfunctie?

Een metriek, of afstandsfunctie, is een functie \( d(x_1, x_2) \) die voldoet aan de volgende voorwaarden:

\( d(x_1, x_2) \geq 0 \)
\( d(x_1, x_2) = 0 \) dan en slechts dan als \( x_1 = x_2 \)
\( d(x_1, x_2) = d(x_2, x_1) \)
\( d(x_1, x_2) \leq d(x_1, x_3) + d(x_3, x_2) \)

voor alle \( x_1, x_2, x_3 \in X \).

Soorten afstanden

Er bestaat niet slechts één manier om een afstand te definiëren. Afhankelijk van het probleem of de context kunnen verschillende metrische structuren worden gebruikt.

Euclidische afstand

$$ d_2(x, y) := \sqrt{ \sum{(x_i - y_i)^2 } } $$

Dit is de klassieke afstand uit de Euclidische meetkunde en waarschijnlijk de bekendste metriek.

Manhattan-afstand

Deze metriek staat ook bekend als de taxicab-metriek. Zij beschrijft verplaatsingen in een roosterstructuur, zoals het stratenplan van Manhattan, waar men zich alleen horizontaal en verticaal kan bewegen.

$$ d_1(x_1, x_2) := \sum{ |x_i - y_i| } $$

Discreete metriek

Bij deze metriek bedraagt de afstand tussen twee verschillende punten altijd 1, terwijl identieke punten afstand 0 hebben.

$$ d(x, y) := \begin{cases} 0 \:\:\: als \: x = y \\ 1 \:\:\: als \: x \ne y \end{cases} $$

Door een norm geïnduceerde metriek

Met behulp van een norm kan altijd een afstandsfunctie worden gedefinieerd.

In dat geval spreekt men van een door een norm geïnduceerde metriek.

$$ ||v|| := d(v, 0_V) $$

De norm van een vector kan dus worden geïnterpreteerd als de afstand van die vector tot de oorsprong van de vectorruimte.

Elke genormeerde vectorruimte is daardoor automatisch een metrische ruimte.

Opmerking : Het omgekeerde geldt in het algemeen niet. Niet elke metriek wordt door een norm geïnduceerd.

Wanneer wordt een metriek door een norm geïnduceerd?

Een metriek heet door een norm geïnduceerd indien zij voldoet aan de volgende eigenschappen:

\( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
\( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2 ) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

waarbij \( v_1, v_2, v_3 \) vectoren zijn uit een vectorruimte \( V \), en \( k \in K \) een scalair voorstelt.

De eerste eigenschap betekent dat de afstand invariant blijft onder translatie. De tweede eigenschap drukt uit dat de afstand homogeen schaalt wanneer vectoren met een scalair worden vermenigvuldigd.

Voorbeeld

De Euclidische norm voldoet aan beide voorwaarden. Daardoor induceert zij inderdaad de gebruikelijke Euclidische metriek.

Beschouw de volgende vectoren in \( \mathbb{R}^2 \) :

$$ v_1 = (6,8) \\ v_2 = (3,4) \\ v_3 = (3,0) $$

Hun respectieve Euclidische normen zijn:

$$ ||v_1||_2 = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 $$

$$ ||v_2||_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $$

$$ ||v_3||_2 = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 $$

Hieruit volgen onmiddellijk hun afstanden tot de oorsprong:

$$ ||v_1||_2 = d(v_1, 0_V) = 10 $$

$$ ||v_2||_2 = d(v_2, 0_V) = 5 $$

$$ ||v_3||_2 = d(v_3, 0_V) = 3 $$

Volgens de definitie geldt \( ||v|| = d(v, 0_V) \) wanneer aan de volgende twee voorwaarden is voldaan:
1] \( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
2] \( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

Controle van de eerste eigenschap

We controleren eerst de translatie-invariantie:

$$ d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) $$

$$ d(10 + 3, 5 + 3) = d(10, 5) $$

$$ d(13, 8) = d(10, 5) $$

Berekening van het eerste lid:

$$ d(13, 8) = \sqrt{(13 - 8)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

Berekening van het tweede lid:

$$ d(10, 5) = \sqrt{(10 - 5)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

Beide leden zijn gelijk. De eerste eigenschap is dus vervuld.

Controle van de tweede eigenschap

Nu controleren we de homogeniteit:

$$ d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) $$

$$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) $$

Kies bijvoorbeeld \( k = 2 \) :

$$ d(20, 10) = 2 \cdot d(10, 5) $$

Dan volgt:

$$ d(20, 10) = \sqrt{(20 - 10)^2} = \sqrt{100} = 10 $$

en

$$ 2 \cdot d(10, 5) = 2 \cdot 5 = 10 $$

Dus geldt inderdaad:

$$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) = 10 \quad \text{voor } k = 2 $$

Ook de tweede eigenschap is dus vervuld.

Conclusie: in de Euclidische ruimte wordt de metriek inderdaad door de norm geïnduceerd.

Aanvullende opmerkingen

Hieronder volgen enkele belangrijke observaties met betrekking tot metrische ruimten.

• Begrensde verzamelingen in een metrische ruimte
  Zij \((X, d)\) een metrische ruimte. Een deelverzameling \(A \subseteq X\) heet begrensd indien er een reëel getal \(\mu > 0\) en een punt \(x_0 \in X\) bestaan zodat: $$ d(x, x_0) \leq \mu \quad \text{voor alle } x \in A $$ Met andere woorden: alle punten van \(A\) liggen binnen een open of gesloten bol met eindige straal en middelpunt \(x_0\).

  In de door \(d\) geïnduceerde topologie hangt de begrensdheid van een verzameling niet af van het feit of zij open of gesloten is, maar uitsluitend van de afstanden tussen haar elementen.

• Begrensde metriek
  Indien de volledige ruimte \(X\) begrensd is, noemt men \(d\) een begrensde metriek.
• Basistheorema voor de door een metriek geïnduceerde topologie
  In een metrische ruimte \((X, d)\) vormt de familie van open bollen $$ \mathcal{B} = \{B_d(x, \varepsilon) \mid x \in X, \varepsilon > 0\} $$ een basis voor de topologie.
• Continuïteitsstelling voor metrische ruimten
  Een functie \(f : X \to Y\) tussen twee metrische ruimten \((X, d_X)\) en \((Y, d_Y)\) is continu indien voor elke \(x \in X\) en elke \(\varepsilon > 0\) een \(\delta > 0\) bestaat zodat: $$ d_X(x, x') < \delta \Rightarrow d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$ voor alle \(x' \in X\).
• Elke metrische ruimte is een Hausdorff-ruimte
  Elke metrische ruimte is noodzakelijk een Hausdorff-ruimte. Omgekeerd geldt dat een topologische ruimte die deze eigenschap niet bezit, niet metriseerbaar kan zijn.

  Opmerking : Een ruimte heet een Hausdorff-ruimte indien voor twee verschillende punten disjuncte open verzamelingen bestaan die respectievelijk elk van beide punten bevatten.

Enzovoort...