Área de un Cuadrilátero con Diagonales Perpendiculares

El área \( A \) de un cuadrilátero cuyas diagonales \( d_1 \) y \( d_2 \) son perpendiculares puede calcularse con la siguiente fórmula: $$ A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} $$

En otras palabras, si un cuadrilátero tiene diagonales perpendiculares, su área se obtiene multiplicando las longitudes de ambas diagonales y dividiendo el producto entre 2.

Esta fórmula se basa en el hecho de que, cuando las diagonales son perpendiculares, el cuadrilátero puede descomponerse en cuatro triángulos rectángulos.

Fórmulas Inversas: Las fórmulas inversas permiten calcular la longitud de una diagonal si se conoce el área del cuadrilátero y la longitud de la otra diagonal. A partir de la fórmula del área, se deduce: $$ d_1 = \frac{2A}{d_2} $$ y, de forma análoga, $$ d_2 = \frac{2A}{d_1} $$ Estas relaciones son muy útiles cuando se dispone del área de un cuadrilátero y de una de sus diagonales, y se necesita hallar la otra.

La Demostración

En términos generales, un cuadrilátero es una figura plana delimitada por cuatro lados, que pueden tener longitudes distintas.

No obstante, dentro de la familia de los cuadriláteros, existen figuras particulares como el rectángulo, el rombo o el cuadrado, que presentan propiedades específicas relacionadas con sus diagonales.

Por ejemplo, en un rombo, el área se calcula multiplicando las longitudes de sus diagonales mayor y menor, y dividiendo entre dos. Esta propiedad no se limita únicamente a rombos de lados iguales, sino que es válida para todos los cuadriláteros con diagonales perpendiculares.

En efecto, los cuadriláteros con diagonales perpendiculares permiten calcular el área únicamente conociendo las longitudes de dichas diagonales.

Cuando las diagonales de un cuadrilámetro se cruzan en ángulo recto, es decir, son perpendiculares, se intersectan formando ángulos de 90 grados.

Esto permite dividir el cuadrilátero en cuatro triángulos rectángulos: ODC, OAD, OBC y OAB.

Así, el área total del cuadrilátero se obtiene sumando las áreas de estos cuatro triángulos:

$$ A = A_{ODC} + A_{OAD} + A_{OBC} + A_{OAB} $$

El área de cada uno de estos triángulos se calcula multiplicando su base por su altura y dividiendo entre dos:

$$ A= \frac{ \overline{OD} \cdot \overline{OC} }{2} + \frac{ \overline{OD} \cdot \overline{OA} }{2} + \frac{ \overline{OB} \cdot \overline{OC} }{2} + \frac{ \overline{OB} \cdot \overline{OA} }{2} $$

Lo cual se simplifica de la siguiente forma:

$$ A= \frac{ \overline{OD} \cdot \overline{OC} + \overline{OD} \cdot \overline{OA} + \overline{OB} \cdot \overline{OC} + \overline{OB} \cdot \overline{OA} }{2} $$

Al agrupar términos semejantes, obtenemos:

$$ A= \frac{ \overline{OD} \cdot (\overline{OC} + \overline{OA}) + \overline{OB} \cdot (\overline{OC} + \overline{OA}) }{2} $$

Como sabemos que la diagonal d₁ = OC + OA,

$$ A= \frac{ \overline{OD} \cdot d_1 + \overline{OB} \cdot d_1 }{2} $$

Esto se puede expresar así:

$$ A= \frac{ d_1 \cdot (\overline{OD} + \overline{OB}) }{2} $$

Y dado que la diagonal d₂ = OD + OB,

$$ A= \frac{ d_1 \cdot d_2 }{2} $$

Con ello llegamos a la fórmula que queríamos demostrar.

En resumen, el área de un cuadrilátero con diagonales perpendiculares equivale al producto de las longitudes de sus diagonales dividido entre dos.

¡Y así se obtiene el resultado!